试论方向导数在求二元函数极限中的应用
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一、问题的提出：
函数极限定义为：ε>0，δ>0当0
A的存在与否，与xx，0，yy0的方式无关，与趋向方向无关。只与园r=（x-x0）2+（y-y0）2去心邻域有关。
先可将xx，0，yy0的方式与方向xx，0，yy0两者人为分开，先看成在L方向上任意变化，如图1；然后再让方向α任意变化，如图2。
只要是园型区域的点，人为分解后，点（x，y）集仍然组成园型区域。
这样，在L方向上，二元函数Z=f（x，y），可视成关于方向L的一元函数，Z=G（L）。在方向L上，一元函数洛必达法则仍然适用。
二、L方向上的洛必达法则转换成任意方向的二元函数求极限的方法
（一）在L方向上，当r=（x-x0）2+（y-y0）20时，函数F（L）、G（L）满足下列条件：
1：F（L）0、G（L）0
2：dF（L）d（L）与d（L）dL存在且d（L）dL≠0
3：limr0dF（L）dLdG（L）dL存在，则limr0F（L）G（L）=limr0dF（L）dLdG（L）dL
因为r0～xx0，yy0，所以有xx0，yy0时，当函数f（x，y）、G（x，y）满足下列条件
1： f（x，y）0，G（x，y）0。
2：dF（x，y）dr=F（x，y）xcosα+F（x，y）ysinα、dG（x，y）dr=F（x，y）xcosα+G（x，y）ysinα存在且dG（x，y）dr=F（x，y）xcosα+G（x，y）ysinα≠0，
3：limyy0xx0 F（x，y）G（x，y） = limyy0xx0 F（x，y）xcosα + F（x，y）ysinαG（x，y）xcosα + G（x，y）ysinα，注α在0o…360o取任意值时，都成立时，极限存在，等于右侧的值。α取某一确定值时，右侧不存在时，极限不存在。
同理可以导出x∞，y∞的法则：x∞，y∞，时，当函数f（x，y）、G（x，y）满足下列条件
1： f（x，y）0，G（x，y）0。
2当x>N，y>N时，dF（x，y）dr=F（x，y）xcosα+F（x，y）ysinα、dG（x，y）dr=F（x，y）xcosα+G（x，y）ysinα存在，且dG（x，y）dr=F（x，y）xcosα+G（x，y）ysinα≠0，
3：limx∞y∞F（x，y）G（x，y） = limx∞y∞F（x，y）xcosα + F（x，y）ysinαG（x，y）xcosα + G（x，y）ysinα，注α在0o…360o取任值时，都成立时，极限存在，等于右侧的值。α取某一确定值时，右侧不存在时，极限不存在。
三、实例计算
例1：求limx0y0sinxyx + y
解：limx0y0sinxyx + y=limx0y0ycosxycosα + xcosxysinαcosα + sinα，因为分子不恒为0，而当α=3π4时sinα+cosα=0，故limx0y0sinxyx + y不存在。
例2：求limx0y0sinxyxy
解：limx0y0sinxyxy = limx0y0ycosxy·cosα + xcosxy·sinαycosα + xsinα = 1，与重要极限一样的结论。
例3：求limx0y0π2-arctanxy1xy
解：：limx0y0π2-arctanxy1xy = limx0y0-y11 + x2y2cosα-x11 + x2y2sinα-y（xy）2cosα-x（xy）2sinα
=limx0y0x2y21 + x2y2 = 0
四、结语
求二元函数的极限与连续性，有时十分复杂。本文提出的上述法则，可能会有益于二元函数的极限与连续的分析。三元及更多元函数的极限与连续情形更复杂，有待进一步的探究。
参考文献
[1]樊映川，《高等数学》[M]人民教育出版社
[2]《高等数学》同济大学应用数学系高等教育出版社