微分学在初等数学解题中的应用

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇微分学在初等数学解题中的应用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要：把微分学的知识应用于解决初等数学问题上，能起到以简驭繁的作用。在方程根的讨论、求曲线的切线、单调区间、极值、最值等方面，应用微分学不仅可使解法简便，而且能使问题的研究更为深入、全面。

关键词：微分学；解题应用；初等数学

中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）18-089-1

初等数学是高等数学的基础，二者有着本质的联系。将高等数学中的微分理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作，是一个值得研究的课题。因此，作为中学教师，除掌握初等数学各种类型题的已熟知的初等方法外，还应善于用高等数学方法解决初等数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学方法则易于解决的初等数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进初等数学教学。

一、方程根的讨论

中学数学解方程根的问题一般应用不等式的有关知识，对一元二次方程的实根分布进行讨论；借助二次函数的图象进行实根分布的讨论，培养学生数形结合的思想；将实根分布等价转化为不等式（组）的求解问题，体现等价转化的数学思想。但是如果用连续函数介值性定理解决此例问题，则可以收到事半功倍的效果。

所以由连续函数介值定理知有方程h（x）=0在区间（3，103），（103，4）内分别有惟一实数根，而在区间（0，3），（4，+∞）内没有实数根，所以存在惟一的自然数m=3，使得方程f（x）+37x=0在区间（m，m+1）内有且只有两个不同的实根.

二、求函数的切线、单调区间、极值、最值等问题

由导数的几何意义，可以很容易地求得曲线的切线，也可方便地求出函数的单调区间和极值、最值.

本题融导数、切线、极值于一体，考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，综合性较强，但解题思路较明显。

从以上例题可看出，用微分学在解决初等数学时有较大优势。需要强调的是，在初等数学中，设“元”的方法是一种基本方法，而在利用微分学解决初等数学问题时，构造“辅助函数”的方法也是一种最常见的方法。微分学与中学数学的有机结合在数学教学中有着重大意义，本文只是进行了粗略的探讨，许多便利还要我们在以后工作中不断进行总结才能得到。

微分学在解决初等数学问题中的应用远不止这些，在其他如因式分解、化简代数式、求值与求和等方面也有广泛的运用。随着微分学等高等数学知识再次回归中学数学教材，中学数学教师除应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决初等数学问题。