k元n立方网络的k圈排除问题的递归算法

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摘要：

为了度量以k元n立方网络为底层网络拓扑的并行计算机系统的容错能力，通过构造k元n立方网络中使得所有的k元1立方子网都发生故障的最小节点集合的方法，提出求解其k元1立方子网排除点割集的一种递归算法；证明了要使k元n立方网络中所有k元1立方子网都发生故障至少需要破坏掉kn-1个节点。结果表明，在不超过kn-1-1个节点被破坏的情况下，以k元n立方网络为底层拓扑构建的并行计算机系统中依然存在无故障的k元1立方子网。

关键词：并行计算机系统；互联网络；容错；k元n立方；节点故障；可靠性

中图分类号：TP393.022；TP301.6

文献标志码：A

0引言

并行计算机系统中元件之间的连接模式称为该系统的互联网络（Interconnection network），简称为网络（Network）。从拓扑上讲， 一个多处理机系统的互联网络拓扑逻辑上确定了该系统中所有元件之间的连接方式。一个网络常用图G =（V， E）来表示，其中，一个节点对应一个处理机，一条边对应两个节点之间的一条直接通信线路。

在大型并行计算机系统中，元件故障是在所难免的。因此，网络的容错性成为一个重要的话题并得到了广泛的研究[1-6]。网络的容错性通常以在一定数量的元件发生故障时互联网络性质的保持程度来度量。显然，有故障发生时，原网络将遭到一定程度的破坏。在此背景下，Latifi[1]于2007年提出了一个有意义的问题：至少多少个元件发生故障时，网络中将不再有给定规模的子网（和原有网络具有相同拓扑结构，但节点数较少的网络）？为便于描述，本文称该问题为“子网排除”问题。2008—2010年，Walker等[2-3]对Star网络的子网排除问题进行了较为深入的研究。Wang等[4]研究了bubblesort互联网络的子网排除问题，他们使用构造映射的方法得到了bubblesort互联网络排除一定规模的子网所需要的最小节点集，从而得到了这些子网排除数的确切值；同时，还到了某些规模的子网排除数的上、下界。目前，大多数对于子网排除问题的研究还仅局限于子网排除数的上、下界的确定问题上，未对最小子网排除集的求解进行深入的研究。

k元n立方网络（kary ncube）是并行计算机系统最为常用的底层拓扑之一，它具有易实现、低延迟、高带宽等优秀性质[7-9]。许多以k元n立方网络的多处理机系统已经问世。譬如，iWarp、Cray T3D、Cray T3E、IBM Blue Gene[10]等。当k≥3时，k元n立方网络中的k元1立方子网是一个长为k的圈（简称k圈）。在破坏对手的以k元n立方网络为底层拓扑结构的系统时，如果能够破坏掉该系统中的所有k圈，那么该系统将出现通信故障，甚至瘫痪。若要破坏k元n立方网络中的所有k圈，最重要的是选取需要破坏的节点。显然，在保证破坏掉所有k圈的前提下，需要打击的节点数目越少越好。

目前，有关k元n立方网络的子网排除数的研究仅见文献[11]，在该文中得到了当k为不小于3的奇数时k元n立方网络的k元n-m立方网络排除数的一个较紧的上界。本文研究k元n立方网络的k圈排除问题，给出一种选择“最少的节点以破坏k元n立方网络中所有k圈”的递归算法，并计算出了破坏k元n立方网络中所有k圈所需要破坏的最少节点的数目。下文中没有定义而直接使用的图论术语参见文献[12]。

由上述两个定理及算法1和2，不难看出，本文提出的求解k元n立方网络的k圈排除问题的递归算法的时间复杂度为O（kn-1），复杂度较高；然而，作为并行计算机系统的k元n立方网络的k和n的取值比较小（例如，以3元15立方网络为底层拓扑结构可以构建拥有一千四百多万个处理器的超级并行计算机），因此，该算法仍不失为一种实用的算法。

3结语

目前，随着高性能并行计算机技术的发展，人们越来越关注具有优良性能的互联网络。按照具有优秀性能的互联网络为底层拓扑结构设计并行计算机系统或大规模集成电路，可以减少路由时间，增强电路板的可移植性，提高系统的性能。网络容错能力是设计和选择互联网络时需要考虑的一个主要问题。在一定程度上，子网排除问题不仅可以反映网络的容错能力，在信息科学中有着重要的应用背景；而且在化学、分子生物学等学科也有着一定的应用价值。

本文研究了k为奇数时k元n立方网络中1元n立方子网（即k圈）的排除问题。提出了k元n立方网络中k圈排除问题的一种递归算法，并计算出当k≥3为奇数、n≥3为整数时k元n立方网络的k圈排除数F（n，1）=kn-1。本文算法虽然具有较高的时间复杂度，然而，在实际的应用中，以k元n立方网络作为底层拓扑构建并行计算机系统时，k和n的取值均很小，因此，本文算法依然是非常有效的。k元n立方网络中较大规模的子网排除问题以及其他著名互联网络的子网排除问题是值得进一步研究的问题。

参考文献：

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[11]WANG S， ZHANG G， FENG K. Fault tolerance in kary ncube networks[J]. Theoretical Computer Science， 2012， 460： 34-41.

[12]BONDY J A， MURTY U S R. Graph theory[M]. Berlin： Springer， 2008.