变力做功问题归类例析

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功的求解是高中物理教学的重点和难点之一，恒力做功可用公式W=Fscosα来求解，但如果是变力做功，即力的大小或方向在做功过程中发生了变化，就很难套用该公式了。而学生遇到此类做功的问题时，常常感到很棘手。现就中学阶段出现的变力做功问题进行归类例析，以期达到抛砖引玉之功效。

1 平均值法

有一些变力，如弹簧弹力虽然大小随位移变化而变化，但是它们的变化关系是线性关系，可以用力的初始值F1和末状态值F2的平均值=F1+F2/2来计算变力所做的功。

例1 如图1所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态。用水平力缓慢拉物体，使物体前进x，求这一过程中拉力对物体做了多少功？

解析 缓慢拉动物体，可认为物体处于平衡状态，故拉力等于弹力大小，有

F=kx，

而弹簧的弹力为变力，与弹簧的形变量成正比，在题设条件下，弹力的初始值为F1=0，终值为F2=kx，可用平均力=0+kx/2=kx/2求功，有

W=F•s=kx/2•x=1/2kx2。

2 分段法

有些力（如摩擦力、空气阻力），在曲线运动（如往返运动中）过程中所做的功并不等于力和位移的乘积，而是力与路程的乘积，这类力的功可分段考虑求解。

例2 如图2所示，质量为m的物体以一定初速度滑上斜面，上滑到最高点后又沿原路返回。已知斜面倾角为θ，物体与斜面的动摩擦因数为μ，上滑的最大高度为h。则物体从开始滑上斜面到滑回到原出发点的过程中摩擦力做功又是多少？

解析 因为上滑与下滑时摩擦力方向相反（上滑时沿斜面向下，下滑时沿斜面向上），全程不是恒力，所以不能把全程位移s=0代入W=F•scosα计算全程的摩擦力所做的功。所以要分段运算，然后求和。依题意有

Wf上滑＝f•scosα=-μmgcosθ•h/sinθ

=-μmghcotθ，

Wf下滑＝f•scosα=-μmgcosθ•h/sinθ

=-μmghcotθ。

所以有

W总＝Wf上滑＋Wf下滑＝-2μmghcotθ。

3 研究对象转换法

根据题设的条件转换研究对象，从而将求变力所做功的问题转化成求恒力所做功的问题。

例3 人在A点拉着绳通过离地面的高度为h光滑定滑轮，吊起质量m的物体，如图3所示，开始绳与水平方向的夹角为α，当人匀速地提起物体由A点沿水平方向运动到达B点，此时绳与水平方向成β角，求人对绳的拉力所做的功。

解析 人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变化，无法利用恒力公式直接求出人对绳的拉力所做的功，若转换研究对象就不难发现，人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相同，而绳对物体的拉力是恒力，滑轮离地面的高度为h。人由A走到B的过程中，物体G上升的高度等于滑轮右侧的绳子增加的长度，即

Δh=h/sinβ-h/sinα。

人对绳子做的功为

W=Fs=GΔh，即W=Gh(1/sinβ-1/sinα)。

4 微元累积法

将物体的位移分割成许多小段，因为小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变或者方向不变、大小改变的变力做功问题。

例4 在水平面，有一弯曲的槽道⌒AB ，槽道由半径分别为R2和R的两个半圆构成，如图4所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为多少？

解析 拉力F沿槽道转动过程中，力的大小虽然不变，但方向不断变化，不能直接使用公式W=Fscosα进行计算。但是我们可以用微元分割法，把整个运动过程分割成n个微过程，这样就把轨道(⌒AB)分割成n段小弧，使每一小段弧都可以看成这段弧的切线，即可以看成是这段的位移，其中每小段的弧长为Δs=3/2πR/n。这样，由于F的大小不变，加之与位移的方向相同，因而对每小段圆弧均可为恒力做功，所以拉力F做元功为

ΔW=F•ΔS=F•3/2πR/n，

所以由A到B过程中拉力F所做总功为

W=W1+W2+…+Wn=F•s1+F•s2+…+F•sn=nΔW=3/2πFR。

5 图象法

在题设情况下，如果能找出力F与位移s的函数关系，则在F－s的直角坐标系中，做出F随s变化的图象，那么，图象与横坐标轴所围成的图形的面积即是F对物体在某一段位移上所做功的数值。

例5 如图5所示，长度为l、质量为m的均匀的绳，一段置于水平的足够高的光滑桌面上，另一段a垂于桌面上，当绳下滑全部离开桌面时，求重力所做的功。

解析 开始使绳下滑的力是a段绳所受的重力，此后下垂的绳逐渐增大，使下滑的力也逐渐增大，且随下垂段的增大成线性增大，所以这是一个变力做功的问题。由于绳的质量为m，开始使绳下滑的力是a段绳所受的重力F=almg，当绳全部离开桌面时，绳下滑的位移是l-a，且此时下滑力是整条绳所受的重力mg。在此区间使绳下滑的重力均匀地增加，如图6所示。那么，重力做的功在数值上就等于图线所包围的梯形面积，即

W=1/2•（almg+mg）•(l-a)

=mg(l2-a2)/2l。

6 W=Pt公式法

根据功率恒定，求变力的功可用W=Pt来求解。

例6 一辆质量为m汽车在平直的公路上以额定功率从静止开始加速行驶，经过一段时间t前进了一段距离s，此时恰好达到其最大速度vm，设汽车所受的阻力是车重的n(n

解析 因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，由F=Pv可知牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等。在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，但牵引力是变力。由于在加速到最大速度过程中，功率保持不变，所以有

W=Pt，（1）

而当汽车达到最大速度时，汽车将以vm做匀速直线运动，有

F=f=nmg，（2）

同时额定功率为

P=F•vm，（3）

联立（1）（2）（3）解得

W=nmgvmt。

7 动能定理法

由动能定理可知，外力对物体所做的功等于物体动能的变化，即Ｗ外＝ΔＥｋ，Ｗ外系指物体受到的所有外力（外力可为恒力，但也可为变力）对物体所做功的代数和，ΔＥｋ是物体动能的变化量。

例7 如图7所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某值F时，转动半径为R，当拉力逐渐减小到F/4时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R，则外力对物体所做的功大小是多少？

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解析 该题中绳的拉力显然是变力，这里应用动能定理来求解．设当绳的拉力为F时，小球做匀速圆周运动的线速度为v1，则有

8 机械能守恒定律法

我们知道，物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，所研究的系统的机械能守恒。如果重力和弹力中有一个力是变力，这个变力所做的功就可用机械能守恒定律求解。

例8 图8所示是一个横截面为半圆，半径为R的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系物体A、B，且mA=2mB，由图示位置由静止开始释放A物体，当B物体达到半圆顶点时，求绳的张力对物体B所做的功。

解析 在B物体达到半圆顶点过程，绳的张力是变力，但由于柱面是光滑的，故系统的机械能守恒。所以要求出绳的张力对物体B做的功，关键求出B到达圆柱顶点时的动能，由机械能守恒可知，系统重力势能的减少等于系统动能的增加。

系统势能的减小量为

ΔEp=mAgπR/2-mBgR，

系统动能的增加量为

ΔEk=1/2(mA+mB)v2，

由ΔEp=ΔEk得

v2=23(π-1)gR,

绳的张力对B球做的功

W=1/2mBv2+mBgR

=π+2/3mBgR

9 功能原理法

机械能守恒定律告诉我们，在只有重力和弹力做功时，系统的机械能守恒。言下之意，如果除重力和弹力之外的其它力对物体也做功，系统的机械能就会发生变化，而且这些力做了多少功，系统就有多少机械能发生转化，这就是功能原理。如果这些力是变力或只有一个变力做功，而其它力对物体做的功和系统机械能的变化量容易求得，就可以用功能原理求解变力做功问题。

例9 如图9所示，一人用定滑轮吊起一个质量为M的物体，绳子每单位长的质量为ρ，试求人将物体从地面吊起高度为L 的过程中所做的最小功。

解析 假定物体被匀速吊起，人将物体从地面吊起的过程中，人的拉力可表示为

T=Mg+ρgx，

式中x为竖直方向绳的余长。当物体上升时，绳的余长x减小，T减小，因而T为变力，故本题属变力做功问题。在本题中用功能原理求解比较方便。

设绳的重量全面集中在它的重心上，物体升高高度为L时，绳的重心上升L/2，产，以ΔE1、ΔE2分别为物体和绳的机械能增量，则系统机械能的增量为

ΔE=ΔE1+ΔE2，

由功能原理知，人的拉力所做的功为

W=ΔE=ΔEP1+ΔEk1+ΔEP2+ΔEk2，

当ΔEk1=ΔEk2=0时，即缓慢提升物体时Ｗ最小，即

Wmin=ΔEP1+ΔEP2，即

Wmin=MgL+L/2ρgL

=(M+1/2ρL)gL。

10 能量转化和守恒定律法

电磁感应的过程总是伴随着能量转化的过程，在某些有做功过程的电磁感应问题中，可以从能量的角度考虑问题，利用能量的转化和守恒定律来求解变力的功。

例10 如图10所示，一个固定的无限长平行绝缘轨道处在相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B中，方向如所示。物体A的质量为m，带电量为+q，A与轨道的动摩擦因数是μ，求A从静止开始下滑到具有最大速度而滑行距离为s的过程中，摩擦力所做的功。

解析 物体开始下滑时，其受力如图11所示，当下落速度v增大时，洛仑兹力FB变大，侧面支持力FN变小 ，摩擦力 f减小，所以加速度增大；当电场力FE

当物体有最大速度vm时有

mg=μ(qvmB-qE)，（1）

又由能量转化和守恒定律得摩擦力做的功为

W=-(mgs-1/2mv2m)，（2）

联立（1）（2）解得

W=-mgs+1/2m(mg/μqB+E/B)2。

在上述实例中，从不同的角度、用不同的方法阐述了求解变力做功的问题。在教学中，通过对变力做功问题的归类讨论，有利于提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力，有利于培养学生的创造性思维，开阔学生解题的思路。

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