谈谈定积分概念的教学

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【摘要】设法细分曲边梯形，以直代曲，求和，取极限，总结抽象概括出定积分概念.

【关键词】曲边梯形；分割；近似代替；求和；取极限；定积分；反思

微积分诞生在三百多年前，被科学家誉为人类思维的伟大成果之一，求瞬时速度、曲线的切线、最大最小值、面积体积等等，都是微积分产生的源泉.微积分已经在自然科学、工程技术、航天科技、生命科学、社会科学、管理科学、密码学等各个领域内有着越来越广泛的应用.微积分中的基本概念是极限、导数与微分、积分等，微分与积分是微积分学中的核心概念. 本文就定积分概念的教学谈谈自己的做法.

一、教师提出研究的问题，并作出必要的启示或指引，让学生思考

曲边梯形的面积、变速运动质点所走的路程、变力做功、密度不均匀的几何体的质量、几何体的体积等等问题的求解方法和步骤，它们是不同的问题，但解决的方法步骤是相同的，是一类问题，有共同的解决途径.

首先教师作出一个曲边梯形，如何求它的面积？启发学生思考，有的学生想到将曲边梯形分割成矩形、三角形等等，但不尽如人意，出不来面积.教师启发学生思考，假如你在大海上，看到的海面是球面还是平面？当然是平面，为什么？因为地球的半径太大了，我们的目光所及实在是太有限了.再如：在一次高考的摸底考试中，班主任将同学们的成绩排名，第20名与第21名的成绩差距很小，或者说相邻两名同学的成绩几乎相当.又如：众多的同学按高矮排队，相邻两个的身高很接近，这是生活体验，同学们是认同的.接下来指导学生将一个纸质的曲边梯形剪成许多个小的曲边梯形，拿出其中一个来，看看如何计算其面积，它近似于一个什么形状.显然是矩形，小的曲边梯形的面积约等于矩形的面积，为底乘以高.这一步完成了分割、近似代替的思考.鼓励学生大胆探索，突破常规思维，积极寻找各种解决问题的途径，找到一个近似答案，就是曙光.

二、使学生回答思考结果，师生共同讨论、分析、理解、归纳

那曲边梯形的面积如何求呢？将一个个小的曲边梯形的面积累加即可，得到了曲边梯形的面积的近似值.我们要的是精确值，怎么办？数学上又如何表示？一个小的曲边梯形的面积怎样表示？教师作出一个放大的小的曲边梯形，在其底边上任取一点，过这点作高，来代替小的曲边梯形的平均高度，底乘以高就是小曲边梯形的面积.这个“高”就是这一点的函数值， “底”就是小区间的长度.怎样由近似值过渡到精确值？分割无限时，误差要多小就有多小.理性思考，将分割无限下去，利用极限工具，当最长的区间长都趋于零时，和的面积的极限值就是我们要的精确值.这一步完成了求和取极限的思考.这是让学生建立起初步的高等数学思维方式，培养学生探索创新的科学精神，树立严谨的科学态度.

四、反思概念形成过程中蕴含的哲学思想

求曲边梯形的面积经历了四个阶段： （1）分割；（2）取近似；（3）求和；（4）取极限.

由有限分割，得到的是近似值；再到无限分割，得到的是精确值，完成了从量变到质变的飞跃.思维也升华到了一定高度，无限思想.定积分概念不仅仅是一个纯概念，而且是一种解决实际问题的数学思维方法，蕴含了哲学思想.要求学生学会这种思考方法，领会数学的精神实质.

五、定积分的几何意义

关键一点是表示曲线围成图形的面积，当曲线在横轴的上方时，积分为正，定积分就是所围图形的面积.当曲线在横轴的下方时，积分为负，定积分是所围图形面积的相反数.

本课通过层层设问，引导学生突破传统思想，不断探索，完成了一个概念由实践到理论再到实践的过程，培养了学生的创新意识和探索精神，培养了学生严谨的科学态度，培养了学生运用理论知识解决实际问题的能力.