高考中分段函数如何考

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分段函数是一类重要的函数，能有效地考查函数的概念及性质，且有着广泛的应用，因而在各类考试中备受青睐. 本文以2011年高考试题为载体，来赏析分段函数的类型及解法.

一、 考查分段函数的求值（域）问题

例1 （陕西文科卷） 设f（x）=lgx， x>0，10x， x≤0，则f（f（-2））= .

解析 f（-2）=10-2=■>0，

f（f（-2））=f■=lg■=-2.

故填-2.

例2 （江苏卷）已知实数a≠0， 函数f（x）=2x+a， x

解析 首先讨论1-a，1+a与1的关系.

当a1，1+a

f（1-a）=-（1-a）-2a=-1-a； f（1+a）=2（1+a）+a=3a+2.

又因为f（1-a）=f（1+a），则-1-a=3a+2，所以a=-■.

当a>0时，1-a1，则

f（1-a）=2（1-a）+a=2-a； f（1+a）=-（1+a）-2a=-3a-1.

又因为f（1-a）=f（1+a），则2-a=-3a-1，所以a=-■（舍去）.

综上可知，满足条件的a=-■.

故填-■.

点评 直接根据自变量求值（域），是分段函数中最常见最基础的题型，只需注意自变量（或子域）对应的解析式即可.

二、 考查分段函数的零点问题

例3 （浙江卷）设函数f（x）=-x， x≤0，x2， x>0，若f（a）=4，则实数a=（ ）

A. -4或-2 B. -4或2 C. -2或4 D. -2或2

解析 当a≤0时， f（a）=-a=4，得a=-4；

当a>0时， f（a）=a2=4，得a=2.

故a=-4或a=2，选B.

例4 （福建文科卷）已知函数f（x）=2x， x>0，x+1， x≤0，若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（ ）

A. -3 B. -1 C. 1 D. 3

解析 由题意知f（1）=21=2.

f（a）+f（1）=0，

f（a）+2=0.

①当a>0时， f（a）=2a，2a+2=0无解；

②当a≤0时， f（a）=a+1， 则a+1+2=0， 则a=-3.

故选A.

例5 （北京卷）已知函数f（x）=■， x≥2，（x-1）3， x

解析 画出分段函数f（x）的图象如右图所示，结合图象可以看出，若f（x）=k有两个不同的实根，也即函数y=f（x）的图象与y=k有两个不同的交点，则k的取值范围为（0，1）. 故填（0，1）.

点评 函数的零点是新课标教材中的一个基础知识点，以上三例分别考查分段函数零点的求法和已知函数值求x的值，属于对基础知识、基础运算的考查.

三、 考查分段函数的不等式问题

例6 （辽宁卷）设函数f（x）=21-x， x≤1，1-log2x， x>1，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）

A. ［-1，2］ B. ［0，2］ C. ［1，+∞） D. ［0，+∞）

解析 当x≤1时，由21-x≤2，知x≥0，则0≤x≤1.

当x>1时，由1-log2x≤2，知x≥■，则x>1.

故满足f（x）≤2的x的取值范围是［0，+∞），选D.

点评 处理分段函数的不等式（或零点）问题的基本策略是：先分后合. 分――即函数分为几段，我们就分为几个不等式（或方程）求解，解得每一个解集都要与该段的子域求交集；合――将每一个不等式（或方程）的最终解集取并集作为原不等式（或方程）的解集.

四、 考查分段函数的应用问题

例7 （北京卷）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为

f（x）=■，x

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（ ）

A. 75，25 B. 75，16

C. 60，25 D. 60，16

解析 由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为■=15，则组装第4件产品所需时间为■=30，解得c=60. 将c=60代入■=15得A=16. 故选D.

点评 此题主要考查分段函数的应用，考查考生运用函数知识分析、解决实际问题的能力.