数学“最优化”应用初探

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摘 要：从理论上讲，通过学习数学中的“最优化”，不仅使得我们处理实际问题更加方便快捷，而且进一步训练了我们的逻辑能力。在数学学习中，我们能慢慢体会到“最优化”存在的巨大的现实意义。通过数学建模解决实际问题的过程，更能使我们对最优化的方法以及其实际应用进行深度剖析。从而让我们在实际操作过程中，得到“最优”的收益，实现“最优化”的现实意义。

关键词：数学；最优化；实际

在实际生活中，常常会遇到用数学建模来解决“时间最短、利润最大、费用最省”等问题，求此类问题，可以从给定的数量关系中选取一个适当的变量，建立数学模型，然后运用导数求最值理论去解决，简捷有效。本文拟通过几例高考题说明导数在解决生活中问题时的应用。

一、盒中的“优化”

例1：请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm。（1）略。（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

+10（x-6）2，其中3

30（x-4）（x-6），

于是，当x变化时，分析f ′（x），f（x）的变化可知x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，

所以当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42。

三、容器制造中的“优化”

例3：某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l≥2r。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c>3）千元，设该容器的建造费用为y千元。

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r。

（作者单位：郑州幼儿师范高等专科学校）