全等三角形创新题赏析

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一、条件开放型

例1如图1，已知AE＝CF，∠A＝∠C，要使ADF≌CBE，还需添加一个条件______________________（只需写一个）．

分析： 这是一道条件开放型试题，命题中已给出结论，但题设的条件不充分，需从不同的角度去寻找使这个结论成立的条件.正确理解、灵活运用三角形全等的条件是求解本题的关键.

解：由AE＝CF可得AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.又已知∠A＝∠C，要使ADF≌CBE，可根据“SAS”添加AD＝CB，或根据“AAS”添加∠D＝∠B，或根据“ASA”添加∠AFD＝∠CEB等.

点评：这种题具有答案不唯一的特点，结构较新，改变了过去的固有模式，可创造性地激活同学们的思维.

二、结论开放型

例2 如图2，AB＝AD， BC＝CD，AC、BD相交于点E．由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中三个正确的结论．(不要添加字母和辅助线，不要求证明)结论1._________；结论2．__________；结论3.___________．

解析：由已知条件不难得到ABC≌ADC、ABE≌ADE、BEC≌DEC.

同时有∠DAE＝∠BAE、∠DCA＝∠BCA、∠ADC＝∠ABC， AC平分∠DAB与∠DCB且垂直平分DB等．

以上都可以作为最后的结论．

点评： 本题是源于课本而又高于课本的一道基础题，解题思路不仅具有多向发散性，更具有灵活性．

三、综合开放型

例3 如图3，点E在AB上，AC＝AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为_______. 你得到的一对全等三角形是________≌________．

解析：在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一组公共边．因此只要添加①CE＝DE，则可根据“SSS”证得CAE≌DAE；②CB＝DB，则可根据“SSS”证得CAB≌DAB；③∠CAE＝∠DAE，则可根据“SAS”证得CAE≌DAE、CAB≌DAB.并且在此基础上又可以进一步得到CEB≌DEB．

点评： 本题是一道条件和结论同时具有开放性的好题目，题目本身并不复杂，但开放程度较高，能激发同学们的发散思维．

四、构造命题型

例4 如图4，在ABD和ACE中，有下列四个等式①AB＝AC，②AD＝AE，③∠1＝∠2，④BD＝CE．

请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题.（要求写出已知、求证及证明过程）

解析： 根据三角形全等的条件和全等三角形的特征，本题有以下两种组合方式：

组合一：条件①②③结论④；

组合二：条件①②④结论③.

值得一提的是，若以②③④或①③④为条件，此时属于“SSA”的对应关系，则不能证得ABD≌ACE，也就不能构成真命题．

点评： “几何演绎推理论证，该如何考？”一直是大家所关注的问题．本题颇有新意，提供了一种较新的考查方式，让同学们自主构造问题，自行设计命题并加以论证，给同学们创造了一个自主探究的机会，具有一定的挑战性．

五、猜想证明型

例5 如图5，E、F分别是平行四边形ABCD的对角线BD所在直线上的两点，且DE＝BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可）．

（1）连结__________；

（2）猜想：__________________；

（3）证明：___________（说明：写出证明过程的重要依据）．

解析： 连接FC，猜想：AE＝CF．

由平行四边形对边平行且相等，有AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再加上DE＝BF.因此，只要连接FC，根据全等三角形的判定定理“SAS”，容易证得ABE≌CDF或ADE≌CBF，从而得到 AE＝CF．

点评： 此题为探索、猜想并证明的试题．猜想是一种高层次的思维活动，在观察的基础上，提出一个可能性的猜想，再尝试证明它，符合同学们的认知规律．本题难度不大，但结构较新，改变了传统的固有模式．

六、判断说理型

例6 两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC如图6所示放置，E、A、C三点在同一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接 ME、MC．试判断EMC的形状，并说明理由．

解析： EMC是等腰直角三角形．

由已知条件可知DE＝AC，∠DAE＋∠BAC

＝90°，

则∠DAB＝90°．

连接AM，由DM＝MB可知MA＝DM，

所以有DMA≌AMB，（SSS）

故∠MDA＝∠MAB＝45°，∠DMA＝∠AMB

＝90°.

从而∠MDE＝∠MAC＝105°，

可得EDM≌CAM．（SAS）

因此EM＝MC，∠DME＝∠AMC．

又易得∠EMC＝∠EMA＋∠AMC＝∠EMA

＋∠DME＝∠DMA＝90°．

所以EMC是等腰直角三角形．

点评： 本题以三角板为载体，没有采取原有的那种过于死板的形式，在一定程度上激发了同学们的解题欲望. 并且它平中见奇，奇而不怪，独具匠心，堪称好题．

七、拼图证明型

例7 如图7（1），一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，如图7（2），再将这两张三角形纸片摆成如图7（3）的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．

（1）求证ABED；

（2）若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．

解析： （1）在已知条件的背景下，显然有ABC≌DEF，故∠A＝∠D．

又∠ANP＝∠DNC，

因而不难得到∠APN＝∠DCN＝90°，即ABED．

（2）由ABED可得∠BPD＝∠EFD＝90°．

又PB＝BC，∠PBD＝∠CBA，

根据“ASA”有PBD≌CBA．

在此基础上，就不难得到PNA≌CND，PEM≌FBM．

点评： 本题将几何证明融入到了剪纸活动中，在剪、拼等操作中去发现几何结论．第2问结论开放，可以从不同的角度去进行探索，激发了大家的创造性思维．

八、阅读归纳型

例8 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等呢?

（1）阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．（证明略）

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等．（证明略）

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，其证明如下：

如图8，已知ABC、A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1．

求证ABC≌A1B1C1．

请你将下列证明过程补充完整.

证明：分别过点B、B1作BDCA于 D、B1D1C1A1于D1，则∠BDC＝∠B1D1C1＝90°.

因为BC＝B1C1，∠C＝∠C1，所以BCD≌B1C1D1，所以BD＝B1D1．

……

（2）归纳与叙述：

由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．

解析： （1）再由条件AB＝A1B1，∠ADB＝∠A1D1B1＝90°，

易证ADB≌A1D1B1，因此∠A＝∠A1．

又由∠C＝∠C1，BC＝B1C1，

从而得到ABC≌A1B1C1．

（2）归纳为：两边及其中一边的对角分别对应相等的两个锐角三角形(或直角三角形或钝角三角形)是全等的．

点评：边边角问题是全等三角形判定中的难点，也是同学们容易出错的内容，要涉及三角形形状的分类．本题构思新颖，创造性地设计出新的阅读情境，考查了同学们阅读理解、类比、概括等的综合能力，同时也可培养同学们灵活、严谨的数学思维品质．

九、作图证明型

例9 如图9，已知RtABC中，∠B＝90°．

（1）根据要求作图；（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）

①作∠BAC的平分线AD交BC于点D；

②作线段AD的垂直平分线交AB于点E、交AC于点F，垂足为H；

③连接ED．

（2） 在(1)的基础上写出一对全等三角形：_________≌____________，并加以证明．

解析： （1）按照要求用尺规作出∠BAC的平分线AD，再作出线段AD的垂直平分线，并连接相关线段．（如图9所示）

（2）由AD平分∠BAC，可以得到∠BAD＝∠DAC.

由EF垂直平分线段AD，可以得到

∠EHA＝∠FHA＝∠EHD＝90°，FA＝EA

＝ED．

从而有∠EAD＝∠EDA＝∠FAH.

再加上公共边，从而有

AFH≌AEH≌DEH．

从中任选一组即可．

点评： 作角平分线和线段的垂直平分线是新课标中明确规定的基本作图． 动手作图，在操作的过程中知识自然呈现，同学们可从中体验数学的神秘与乐趣，并实现数学的创新，从而进一步加强对数学的学习．