探究线段最大值:把“折线段”拉直

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[摘 要] 本文结合一道九年级期中考题，交流探究线段最大值的求解策略，并链接讲解一道中考试题，尝试原创一道类似的考题. 笔者在这一类题的讨论中，感悟出求线段最大值的一种策略：把“折线段”拉直.

[关键词] 线段最大值；折线段；拉直

初中几何常常有探究线段的最小值问题，这类问题往往要转化为一些常见的几何模型，如“两点之间，线段最段”“垂线段最短”“轴对称最值模式”等. 比较而言，不少学生在探究线段最大值问题往往感到困难，很难找到直接套用的模式，不能实现问题的有效转化. 本文结合近期九年级一道期中考题，交流探究线段最大值的一种常见策略：把“折线段”拉直.

例题？摇 在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，且AB=10，点M为线段AB的中点.

（1）如图1所示，线段OM的长度为_______.

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（2）如图2所示，以AB为斜边作等腰直角三角形ACB，当点C在第一象限时，求直线OC所对应的函数解析式.

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（3）如图3所示，设点D，E分别在x轴、y轴的负半轴上，且DE=10，以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，请求出线段MG长度的最大值.

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思路突破 前两问比较简单，属于基础考查和预热阶段. 第（2）问，在图2中，可过点C分别作CPx轴于点P，CQy轴于点Q. 易证BCQ≌ACP，所以CQ=CP. 结合点C在第一象限，可设C点的坐标为（a，a）（其中a>0）. 设直线OC所对应的函数解析式为y=kx，则a=ka，解得k=1，所以直线OC所对应的函数解析式为y=x.

下面着重探究第（3）问. 但在探讨第（3）问之前，我们先试着理解下面这样一个“引例”：

引例？摇 如图4所示，在ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，点A，B分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点B随之在y轴上运动，在运动过程中，点C到原点的最大距离是（ ？摇？摇）

A. 2■+2？摇？摇 B. 2■

C. 2■？摇？摇？摇 ？摇D. 6

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讲解 如图5所示，取AB的中点M，连OM，CM，显然OC

可以发现，在“引例”中，我们获得一种利用共线求得线段最大值的模型. 现在，我们再回到例题（3）中来，如图7所示，OM为定值5（第（1）问已求），可见，当OG取得最大值，且O，M，G取得最大值（三点共线）时，MG取得最大值.

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如图8所示，取DE的中点N，连结ON，NG，OM，ON=5，NG=5■.

如图9所示，当M，O，N，G四点共线时，MG最得最大值，最大值为10+5■.

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解后反思 上述利用折线段拉直获得线段最大值的思路，让我们想起一些变式问题，不妨链接如下，供研讨.

链接1：（2011年江苏泰州中考）如图10所示，在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C，D都在第一象限.

（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标.

（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上.

（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由.

思路讲解 限于篇幅，前两问不述. 第（3）问“点P到x轴的距离h的取值范围”的难点之一即是OP最大值问题. 只要取AB的中点M，当点O，M，P三点共线时，OP取得最大值a，即此时h的最大值为■a .由于正方形ABCD的一个顶点（A或B）可以无限接近坐标原点（但不能到达），所以没有最小值，只会接近■a.

链接2：（笔者原创）如图11所示，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以D为圆心、DB长为半径作弧交CA延长线于点E，连结DE，BE.

（1）求证：BDE是等边三角形.

（2）以点D为中心，把CDE顺时针旋转α角（0°

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思路讲解 （1）略. （2）点P运动到C′处，且旋转到直线BD上时有最大（小）值. 相应的有最大值2■+2和最小值2■-2.