应用能量守恒计算谐振频率

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摘要：合理地利用振动能为人类造福。要想合理利用振动，必须确定振动系统的固有频率。本文研究一种快速、简练地确定系统固有频率的方法，即应用能量守恒定律于简谐振动，求解系统的固有频率，它能够快速、简练地确定系统的固有频率。

关键词：能量守恒定律；简谐振动；固有频率

中图分类号：G642.4 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2012）07-0175-02

生活在这个世界里的人类每时每刻都离不开振动,例如心脏的搏动、血液的循环、肺部的张缩呼吸、脑细胞的思维以及耳膜和声带的振动等。在日常生活中，人们往往只看到了振动带来的危害。但振动并非都是有害的，在许多方面，合理地利用振动也能为人类造福。要想合理利用振动，必须确定振动系统的固有频率。本文研究一种快速、简练地确定系统固有频率的方法，即应用能量守恒定律于简谐振动，求解系统的固有频率，它避开繁杂地建立微分方程尤其是求解微分方程的困难，能够迅速确定系统的固有频率。

一、首先研究最简单的谐振——弹簧振子的振动

如图1所示，在弹簧下端挂一重物，重力与弹簧拉力平衡时，弹簧伸长了x，则mg=kx其中m是重物的质量，k是弹簧的倔强系数。以平衡位置为坐标原点建立如图所示坐标系ox，当重物相对平衡位置的位移为x时，重物受到两个力的作用，一个是弹簧的作用力 （方向向上）；

另一个是重力mg（方向向下），根据牛顿第二定律得：m■ =mg（mg+kx）（1）

即：m■=-kx（2）

解方程得到满足初始条件的特解：x=x0cosωt+■sinωt

利用三角函数可将上式变为：x=xmcos（ωt-ψ） （3）

求导数得速度：v=-ωxmsin（ωt-ψ）（4）

其中振幅值：xm=■初相位：ψ=tg-1（■）

式（3）是该重物简谐振动的位移与时间关系的表达式。振动的振幅xm和初相位ψ由初始条件决定，振动周期：T=■=2π■。

以上采用的方法是最通常的对最简单的谐振固有频率的讨论方法。

二、应用能量守恒定律于简谐振动的研究

由以上的研究可知：振动系统的动能为：Ek=■mv2其中：v为重物的振动速度。由功能原理可知：当重物在位移x处有位移增加量dx时，弹性势能增加量为：dEp=-fdx，f=-kx，dEp=kxdx，Ep=■kxdx=■kx2在没有空气阻力和其他外力作用下机械能守恒，即：■mv2+■kx2=常数，对上式求导数得：mv■+kx■=0，而■=v，■=■于是有：m■+kx=0

上式就是简谐振动微分方程。由于系统仅受保守力的作用，因此，系统机械能守恒。而Epm=■kxm2，Ekm=■mvm2=■m（ωxm）2，所以：Epm=Ekm，即：■kxm2=■m（ωxm）2 （5）

所以：ωm=■　（6）T=■=2π■

所得结果与用最常用的讨论方法所得结果一致。

由此可见，应用能量守恒定律可以很方便地确定振动周期。

三、能量守恒定律于简谐振动研究的应用

例1：如图2所示，在一个半径为R的大圆筒放置一个半径为r，质量为m的圆柱，圆柱在平衡位置o两边来回滚动也是一种简谐振动。用偏离角ψ与mg间关系来描述振动情况。

首先，确定振动系统的最大势能（以平衡位置为零势面）。

圆柱有最大偏离时，圆柱重心上升高度为：h=R-r-（R-r）cosψm

因振动是微小的，ψm很小，可将cosψm展开为：cosψm=1-■+……

于是：h≈（R-r）■（略去高次项）

最大势能为：Epm=mgh=■mg（R-r）ψm2 （7）

其次，确定振动系统的最大动能。

通过平衡位置时O是圆柱的瞬时转动中心，此时，绕O点转动的瞬时角速度也最大：■=■·■ （8）

圆柱对通过O的转轴的转动惯量为：I=■mr2（9）

因此最大动能为：Ekm=■I（■）2 （10）

由于能量守恒：Epm=Ekm，将（7）、（8）、（9）、（10）代入并利用式（6）（以角位移、角速度代替线位移、线速度）得：ω=■

上式就是圆柱体振动的圆频率。

例2：下面用能量守恒定律研究LC振荡电路。在LC振荡电路中，电容上储存的电量为：q=Q0cos（ωt+ψ）而振荡电路中电感线圈上的电流：

其中Q0是电容器上的最大电量，I0=ωQ0是最大电流，因此在此LC振荡电路中最大电场能量为：Ecm=■，Ecm=■，最大磁场能量为：Emm=■

由于能量守恒，我们有：■=■，将I0=ωQ0代入得：ω=■

上式就是LC振荡电路的电流振荡频率。

例3　氢气原子中原子核带有一个单元的正电，外边有一个带一个单元的负电，因此原子核与电子之间有库仑吸引力，等于■·■，原子核的质量比电子大1836倍，它们相对运动可看作是电子绕原子核的运动，在有心力场中我们以电子绕原子核运动作为简单的圆周运动作为例子，设电子电量为e，质量为me，线速度为v，圆周运动半径为r，则电子的动能为：Ek=■mev2 （11）

电子与原子核相互作用势能为：Ep=■·■ （12）

电子作圆周运动圆频率为ω，把电子绕原子核转动看作一个简谐振子，

则：v=ωr （13）

原子振子的总能量为：E=■mev2-■（14）

由于能量守恒，所以：■mev2=■

即：■me（ωr）2=■，ω=■

这就是原子的振荡频率。

例4 地球围绕太阳转动和月亮围绕地球转动的周期是我们熟悉的，也可以用我们的方法近似计算出来，所谓近似，即把椭圆运动近似当作匀速圆周运动，取其平均距离作为圆的半径，把地球或月亮运动看做简谐振子。

地球公转动能和太阳与地球系统势能分别为：

Ek=■m地v2=■m地（ω地r地）2 （15），Ep=G■

（16）

由于能量守恒，所以：■m地（ω地r地）2=G■化简得ω地=■

已知引力常数为：G=6.67×10-11N·m2·kg-1

太阳质量为M太=1.99×1030kg

地球与太阳间平均距离r地=1.50×1011m

所以：ω地=■=■≈2.8×10-7s

因为ω地=■，故T=■=■≈2.24×107s≈365天

通过以上的例子，应用能量守恒定律于简谐振动的研究，能快速、简练地确定系统的固有频率。对于解决有关这方面的实际问题，具有很强的实用性，为在实际工作中带来方便。

参考文献：

[1]程守洙.普通物理学第二册[M].北京:高等教育出版社,1982：296.

[2]肖士.理论力学简明教程[M].北京:人民教育出版社,1979：142-143.

基金项目：（广西）自治区精品课程《力学》（2008QJG01）资助；百色学院示范课程（2010）资助

作者简介：覃铭（1963-），男，壮族，大学本科学历，百色学院物理与电信工程系副教授。