浅论函数的对称性
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函数是中学数学的核心内容，也是中学数学教学的主线.函数的性质是历年数学竞赛试题和高考数学试题的重点与热点，其中函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系渗透于各种自然科学和数学问题之中.下面通过同一函数的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来讨论函数的对称性.
一、同一函数的对称性
性质1.若函数f（x）满足f（x）+f（2a-x）=2b，则图像关于点A（a，b）对称.
证明：（必要性）设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点，点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P'（2a-x，2b-y）也在y=f（x）的图像上，2b-y=f（2a-x）即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得证.
（充分性）设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点，则y=f（x）.
f（x）+f（2a-x）=2bf（x）+f（2a-x）=2b，即2b-y=f（2a-x）.
故点P'（2a-x，2b-y）也在y=f（x）图像上，而点P与点P'关于点A（a，b）对称，充分性得证.
推论：（1）若函数f（x）满足f（x）+f（-x）=0，则图像关于原点对称；
（2）若函数f（x）满足f（x）+f（2a-x）=0，则图像关于点（a，0）对称；
（3）若函数f（x）满足f（x）+f（-x）=2b，则图像关于点（0，b）对称；
性质2.若函数f（x）满足f（a+x）=-f（b-x），则图像关于（，0）对称.
性质3.若函数f（x）满足f（a+x）=f（b-x），则图像关于直线x=对称.
推论：（1）若函数f（x）满足f（x）=f（-x），则图像关于y轴对称;
（2）若函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x），则图像关于直线x=a对称.
性质4.若函数f（x）图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且周期为2|a-b|.
性质5.若函数f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b）则y=f（x）是周期函数，且周期为2|a-b|.
性质6.若函数f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且周期为4|a-b|.
证明：函数y=f（x）图像关于点A（a，c）成中心对称，
f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：
f（2b-x）+f［2a-（2b-x）］=2c（*）
又函数y=f（x）图像直线x=b成轴对称，
f（2b-x）=f（x），代入（*）得：
f（x）=2c-f［2（a-b）+x］（**），用2（a-b）-x代x得
f［2（a-b）+x］=2c-f［4（a-b）+x］代入（**）得：
f（x）=f［4（a-b）+x］，故y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期.
二、不同函数的对称性
性质1.函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点A（a，b）成中心对称.
性质2.函数y=f（x）与y=-f（x）的图像关于x轴对称.
性质3.函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像关于直线x=a成轴对称.
性质4.函数y=f（x）与y=2b-f（x）的图像关于直线y=b成轴对称.
性质5.函数yf（x）与y=f（x）与的图像关于直线x-y=0成轴对称.
性质6.函数y=f（x）与y=-f（x）与的图像关于直线x+y=0成轴对称.
性质7函数y=f（a+x）与y=f（b-x）的图像关于直线x=成轴对称.
三、三角函数的对称性
性质1.函数y=sinx的图像的对称中心为（kπ，0），对称轴为x=kπ+.
性质2.函数y=cosx的图像的对称中心为（kπ+，0），对称轴为x=kπ.
性质3.函数y=tanx和y=cotx的图像的对称中心为（，0）.
性质4.函数y=sin（ωx+φ）的图像若关于y轴对称，则φ=kπ+，若关于原点对称，则φ=kπ.
性质5.若函数y=cos（ωx+φ）的图像若关于y轴对称，则φ=kπ，若关于原点对称，则φ=kπ+.
四、应用举例
例1.若非常值函数f（x）满足：f（8+x）为偶函数，且f（4+x）=f（4-x），则f（x）一定是（）
（A）既是偶函数，又是周期函数（B）是偶函数，但不是周期函数（C）既是奇函数，又是周期函数 （D）是奇函数，但不是周期函数
解：f（8+x）为偶函数，f（8+x）=f（8-x），又f（4+x）=f（4-x）f（x）是以8为周期的周期函数f（x）=f（x+8），即f（x）是偶函数.故选（A）.
例2设定义域为R的函数f（x）、g（x）存在反函数，并且f（x-1）和g（x-2）函数的图像关于直线y=x对称，若g（8）=2011，那么f（7）=（）
（A）2010 （B）2011 （C）2012 （D）2013
解：y=g（x-2）反函数是y=f（x-1）又y=g（x-2）的反函数是：y=g（x）+2，f（x-1）=g（x）+2，f（8-1）=2+g（8）=2013，故f（7）=2013，应选（D）.
例3设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2+x）=f（2-x），当-1≤x≤0时，f（x）=2x+1，则f（9）=?摇?摇?摇?摇
解：f（x）是奇函数，又f（2+x）=f（2-x）f（x）关于直线x=2对称.故y=f（x）是以8为周期的周期函数，f（9）=f（8+1）=f（1）=-f（-1）=1.
例4.已知函数f（x）=，函数y=g（x）的图像与y=（x+1）的图像关于直线y=x对称，求g（11）的值.
解：函数y=g（x）与y=f（x+1）互为反函数，又函数y=f（x+1）的反函数为y=f（x）-1，g（x）=f（x）-1=，g（11）=.
例5.函数y=sinxcosx+cosx-的图像的一个对称中心为（）
（A）（，-） （B）（，-）
（C）（-，） （D）（，-）
解：y=sin（2x+）-
2x+=kπ即x=-
选（B）
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