浅谈几何画板的教学优势
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【摘 要】现代教育技术越来越先进，几何画板就是其中之一。这篇论文中，谈论了几何画板的简介、几何画板在小学、初中、高中的运用，而且还简单谈论了几何画板具体运用的例子，具体形象的阐述了几何画板在数学教育中的重要性，学会几何画板为我们以后的数学教育起到推波助澜的作用。
【关键词】几何画板；数学教育；优势
一、几何画板的简介
《几何画板》是一个适用于几何教学的软件，它给人们提供了一个观察几何图形的内在关系，探索几何图形奥妙的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，构造出其它较为复杂的图形。和其他同类软件相比，几何画板有如下几个优势，使得它成为数学、物理教学中的强有力的工具。
1、动态性
用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所
有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变。比如我们可以先在画板上任取三个点，然后用线段把它们连起来。这时，我们就可以拉动其中的一个点，同时图形的形状就会发生变化，但仍然保持是三角形。再进一步，我们还可以分别构造出三角形的三条中线。这时再拉动其中任一点时，三角形的形状同样会发生变化，但三条中线的性质永远保持不变。这样我们就可以在图形的变化中观察到不变的规律：任意三角形的三条中线交于一点。
2、形象性
上课时，当老师说“在平面上任取一点”时，在黑板上画出的点却永远是固定的。所谓“任意一点”在许多时候只不过是出现在老师自己的头脑中而已。而《几何画板》就可以让“任意一点”随意运动，使它更容易为学生所理解。所以，可以把《几何画板》看成是一块“动态的黑板”。《几何画板》的这种特性有助于帮助学生在图形的变化中把握不变的几何规律，深入几何的精髓。这是其它教学手段所不可能做到的，真正体现了计算机的优势。
3、操作简单
一切操作都只靠工具栏和菜单实现，而无需编制任何程序。在《几何画板》中，一切都要借助于几何关系来表现，因此用它设计软件最关键的是“把握几何关系”，而这正是老师们所擅长的；但同时这也是它的局限性：它只适用于能够用几何模型来描述的内容──例如几何问题、部分物理、天文问题等。
4、开发软件的速度非常快
一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的老师开发一个难度适中软件只需5-10分钟，正是由于上述优势，使得几何画板教学逐渐成为教育改革的重要方向之一，成为21世纪的动态几何。 信息技术的发展，深刻影响着教学手段的变革。熟练应用信息技术辅助学科教学，成为广大教师的强烈愿望。对广大中小学教师来说，真正能够利用信息技术有效辅助教学，首先需要选择一个好的应用平台，“几何画板”正是这样一个平台。
“几何画板”是从美国引进的工具平台类优秀教学软件，具有功能强大、操作方便、易学易用、制作课件简便快速等特点。它能够动态地保持几何关系，帮助学生深刻理解数学规律，有效突破教学难点，因而深受广大师生的喜爱和欢迎。对于广大中小学数学教师来说，学习和使用几何画板就像学习和使用直尺、圆规一样容易，稍加培训就可基本掌握。一个能够熟练使用几何画板的老师，可以根据需要在课堂上当堂用几何画板制作课件。可以说，“几何画板”是目前所有教育类软件中最适合中小学数学教师使用的软件之一。
二、几何画板在小学教学中的应用
几何画板学习相对容易，操作比较简单，功能又很强大。使用几何画板可以方便迅速的制作出各种数学课件，使静态的图形或对象变为动态，能实时度量并显示长度、面积和角度，还具备平移、旋转、缩放和反射的几何变换功能。利用几何画板制作的数学课件，有利于激活学生的思维，向学生揭示知识发生和发展的过程，用形象生动的画面去帮助学生理解抽象、枯燥的数学概念、公式和法则，领会和把握知识之间的内在联系，从而帮助小学生更好地掌握所学的知识，所以说几何画板是小学数学教学中创设问题情境和解决问题的好工具。
小学数学的教学内容中，正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形以及圆的特征、周长和面积公式，都可以利用几何画板制作的图形动画课件较好的把学生引入思考、探索、创新的情境之中，取得良好的教学效果，而且课件制作的难度不大，耗时较少。甚至许多不是几何知识的小学数学教学内容，也可以利用几何画板制作文本动画和对象动画的课件来创设问题情境，能取得意想不到的效果。比如说在讲授《三角形的内角和为 》一课时，我们传统的教学是利用量角器度量三角形的三个内角度数得以证明。但是这样做比较复杂，而且容易产生误差。现在我们可以应用《几何画板》的功能来加以验证。
步骤一：新建一个几何画板文件，并画任意三角形ABC。
步骤二：度量三角形的内角。
用“选择”工具依次选择点A、B、C，并选择“度量”菜单的“角度”命令，度量出 的度数，如 。在空白处单击。
同理，度量出 和 ，如图1所示。
图 1
步骤三：计算三角形的内角和。
选择“度量”菜单的“计算”命令，打开“新建计算”，用“选择”工具，依次单击 、+、 、+、 、“新建计算”的显示屏出现 ，如图2所示，单击“确定”，计算出 ，如图3所示。
图 2
图 3
实验：拖动点A，可以看到角的度数随三角形的内角变化而变化，但内角和不变。
步骤四：下面把度量值（计算值）制作成表格。
用“选择”工具依次选择： 、 、 、 ，并选择“度量”菜单的“制表”命令，出现一个两行四列的表格，如图4所示。
图4
步骤五：给表格添加记录。
1、用“选择”工具选择表格，并选择“度量”菜单的“添加表中记录”命令，打开“添加表中数据”对话框，如图5所示，系统默认设置是“添加一条记录”，单击“确定”，关闭对话框，表格增加一行，如表1所示，此时，我们看见新增加的第三行与第二行完全相同。
图 5
表 1
2、拖动点A，改变三角形的形状，表格的第三行随着改变，如图6所示，但第一行的值没有发生变化。
图 6
重复上面操作，可以添加若干个记录。
步骤六：添加标题“三角形的内角和实验”，从而保存文件。
【提示】
1、用“度量”菜单度量角时，要注意点的选择顺序，其方法与作角的平分线相同，一定要把所度量的角的顶点放在中间选择。
2、几何画板的“新建计算”实质是一个“计算器”，它与普通的计算器的使用方法基本相同，它不仅可以作一般的数值运算，还可以作含变量的代数运算。
3、给表格添加记录还有3种方法：
法1：用“选择”工具双击表格，可添加一条记录。
法2：在图7所示的“添加表中数据”对话框中，选择“添加10条目录”选项卡，可输入一个2--25的数值作为添加记录的个数，比如输入“5”，如图7所示，表示添加5条记录，单击“确定”，拖动点A，每过1秒钟添加一条记录，直到添加5条记录为止。
图7 图8
法3：用“选择”工具右击表格，弹出快捷菜单，选择“添加表中记录”命令，如图8所示，可为表格添加记录。
4、表格添加记录以后，“图表”菜单的“移除表中记录”命令被激活，选择“移除表中记录”命令，可以删除添加的最后一条记录或所有添加的记录。
5、用“选择”工具右击任一度量值，弹出快捷菜单，选择“属性”命令，打开“角度度量结果的属性”对话框，选择“值”选项卡，可见 目前的精确度为百分之一，单击精确度右边的 ，可以设置度量值的精确度，如图9所示。
图9
图10
选择“对象”选项卡，单击“父对象”，如图10所示，我们看到度量值 的父对象依次是点A、B、C，即， 是由点A、B、C决定的角，并且顶点为B。
单击“子对象”，如图11所示，我们看到度量值 的子对象是三角形三个内角的和与表格。
图11
本例中，角的度量值前面有一个字母m，这与习惯的表达形式不同，又不能通过修改标签的方法把m去掉。下面我们利用“编辑”菜单的“分离/合并”命令，让度量值或计算值变为我们习惯的方式显示。
三、几何画板在初中学段的应用
1、运用“几何画板”讲授抽象数学概念
在数学教学中，概念教学是重要的，也是困难的。经验表明，让学生理解某一数学概念有时要比他们学会一个具体的解题技巧不知困难多少倍。数学概念离不开抽象思维及严谨的数学语言表述，而抽象与严谨正是学生疏远数学的原因。利用“几何画板”来创设教学情境并让学生主动参与却可以缩短数学与学生的距离，有助于学生理解抽象的数学概念。
比如在讲授“中心对称”这一概念时，先用“几何画板”按照教科书《几何（第二册）》图4-43制作了一个会转的风车的风轮，当它一出现时，立刻就吸引了全班同学的注意，一些平时上课不专心的同学这时也活跃起来了。同学们根据风车风轮的叶片在旋转中不断重合的现象很快就理解了“中心对称”的定义，并受此现象的启发还能举出不少中心对称的其他实例。这时再在屏幕上显示出成中心对称的两个三角形，并利用“几何画板”的动画和隐藏功能，时而让两个对称的三角形动起来，使之出现不同情况的对称图形（例如图形在对称中心两侧、两图形交叉或是有一对对称点在对称中心上等）；时而隐去或显示一些线段及延长线。在这种形象化的情境教学中，学生们一点不觉得枯燥，相反在老师的指导和启发下他们始终兴趣盎然地在认真观察、主动思考，并逐一找出了对称点与对称中心之间、对称点连线与对称中心之间的关系，在此基础上学生们很自然地就发现了中心对称的两个基本性质并理解了相应的定理，从而实现了对知识意义的主动建构。
2、运用“几何画板”动态演示数学公理（定理）
在以往的数学教学中，往往只强调“定理证明”这一个教学环节（逻辑思维过程），而不太考虑学生们直接的感性经验和直觉思维，致使学生难以理解几何的概念与几何的逻辑。几何画板则可以帮助学生从动态中去观察、探索和发现对象之间的数量变化关系与空间结构关系，使学生通过计算机从“听数学”转变为“做数学”。
比如在讲授“平行线分线段成比例定理”时，先让学生在画板上画三条相互平行的直线截另两条直线，标出其交点，利用“几何画板”中“测算”和“自动计算”的功能，通过改变平行线和被截直线的相对位置，让它自动测算出对应线段的长度并计算出它们的比值。在操作中，学生可以通过任意改变平行线间距离、通过拖动被截直线来观察对应线段的比值是否总是相等，从而直观地得出结论。这样我们就形象直观地解决了传统教学的难点内容。
3、运用“几何画板”讲授“函数的图象”
函数的图象，一直是初中数学教学中传统的难点。学生学过函数的图象之后多数并不理解函数与图象的对应关系，甚至有听天书的感觉。运用“几何画板”可以通过学生们直接的感性认识和直觉思维，经过教师的引导，升华到理性的认识，达到加深学生的认知能力。比如在教学“二次函数的图象及其性质”时，教师先用几何画板制作好二次函数“y = a x2 + bx + c ”的课件，在教学中通过分别拖动改变a、b、c三个参数的值，观察二次函数的图象的变化情况。学生从中可以直接概括出二次函数图象中：开口方向与参数a的关系；对称轴与参数a、b的关系；顶点与参数a、b、c之间的关系；以及函数的图象所经过的象限与参数a、b、c之间的关系。这样就不必由老师进行讲解，而学生对此的映象却要更加深刻。
4、利用“几何画板”引导学生做“数学实验”
“几何画板”几分钟就能实现动画效果，还能动态测量线段的长度和角的大小，通过拖动鼠标可轻而易举地改变图形的形状，因此完全可以利用画板让学生作数学实验。这样在问题解决过程中理解和掌握抽象的数学概念，使得学生获得真正的数学经验，而不仅仅是一些抽象的数学结论。比如，为了让学生较深刻地理解两个三角形全等的条件（如：SAS公理），可以让学生利用几何画板做一次这样的数学实验：在该实验中，教师先用几何画板画好一个三角形ABC，再画角A，B'C'并构造线段A'C'得到三角形A'B'C'，学生可通过任意改变线段A'B'、B'C'的长短、角A'B'C'的大小和通过鼠标拖动端点来观察两个三角形的形态变化，学生从中可以直观而自然地概括出三角形全等的判定公理，并不需要由教师像传统教学中那样作滔滔不绝的讲解，而学生对该定理的理解与掌握反而比传统教学要深刻得多。 目前，在这方面已经有了一些有益的尝试。如1998全国计算机辅助中学数学教学课例展评、交流、研讨活动中，北京师大附中的一个课例“求圆内接三角形面积的最大值”，就是在电脑网络教室里，让学生利用几何画板，自己在动态变化中观察静态图形的变化规律，对图形进行定量的研究，通过交流、讨论，最终得到问题的解答，其中有一个解法是教师在备课时也未想到的。1995年夏季学期，两个美国初中二年级学生David Goldeheim和Dan Litchfiled应用几何画板发现了又一种任意等分线段的方法；东北育才学校一名学生发现了广义蝴蝶定理。抛开这些问题自身的意义不说，他们处理问题的过程（猜测，验证，论证），对我们的数学教学也是一种启示。
5、运用“几何画板”解决开放探索性问题
传统的数学教学中的一个大缺陷是缺少一个便于学生探试的环境和富于启发性的问题情景，这就造成对开放探索性问题的教学的忽视。“几何画板”提供了一个十分理想的让学生探视问题求解的环境，这时情况就和传统教学大不一样了。比如在解答问题“顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是什么图形”时，在计算机屏幕上显示的效果就比过去灵活得多。在“几何画板”的支持下，可以在屏幕上给出一个动态的四边形，它在运动的过程中忽而是凸四边形，忽而是凹四边形；四边中点连线组成的四边形也是不断变化的，可能是一般的平行四边形，也可能是特殊的平行四边形。在这种情景下我们可以给学生更多的思考空间，因为问题可以是非常开放的，我们可以引导学生探究怎样的条件将导致何种结论。通过以上几点，我们清楚地看到，运用“几何画板”参与的教学活动，其进程遵循一种新型教学结构，其特点就是在教师的指导下，或在教师所创设情境的帮助下，由学生主动进行探索式、发现式和协作式学习，也就是既发挥教师主导作用又充分体现学生主体作用的“主导——主体结构”。这种结构与传统的教学结构相比，其教学质量与教学效率都有显著的提高，充分体现了新型的教学结构的优越性。由于这种结构的实施离不开几何画板（一种计算机软件工具），所以这就要求我们数学教师能熟练地进行计算机的一般操作，会使用有关的教育软件。在计算机与数学学科整合的过程中，我们更需要数学专业的修养、教学法的知识、教育心理学的理论。再比如讲授“两圆的位置关系”时，利用几何画板的“移动”工具可以较好的表达两圆的任意性，即它们之间的相离、相交、和内含三种位置关系。通过定义一些特殊点的“移动”，来表现两圆的重合、内切和外切特殊关系。
（1）如图打开一个新画板，画线段ab，在ab上任取两点c，d；分别作点c点到点d，点c到点b的“移动”按钮。
（2）在线段外任意画两点E、F，分别以点E为圆心、ac为半径，点F为圆心，ab为半径画圆。
（3）另画一点A，过点A作线段ab平行线j，让点A按标记向量ac平移，得到点C，让点C按标记向量cb平移，得到点B。
（4）让点C以点A为中心旋转 ，得到点c’，让点A以点B为中心旋转- ，得到点A’，构造CB的中点D。
（5）同时选中点E和F，作快速“动画”按钮，改标签为“任意两圆”。
（6）同时选中点E和C，F和B，作快速“移动”按钮，改标签为“两圆内切”。
同时选中点E和C’，F和B，作快速“移动”按钮，改标签为“两圆外切”
同时选中点E和D，F和C’，作快速“移动”按钮，改标签为“两圆相交”
同时选中点E和D，F和C，作快速“移动”按钮，改标签为“两圆内含”
同时选中点E和C’，F和A’，作快速“移动”按钮，改标签为“两圆相离”。
同时选中“点c—b移动”按钮，和“两圆内切”按钮，“系列”，改标签为“两圆重合”。
（7）隐藏直线j以及线上所有的点。隐藏“点c-b移动”，并调节各按钮的位置，如图12所示
图12
四、几何画板在高中学段的应用
1、《几何画板》在高中代数教学中的应用
具体说来，可以用《几何画板》根据函数的解析式快速作出函数的图象，并可以在同一个坐标系中作出多个函数的图象，如在同一个直角坐标系中作出函数y=x2、y=x3和y=x1/2的图象，比较各图象的形状和位置，归纳幂函数的性质；还可以作出含有若干参数的函数图象，当参数变化时函数图象也相应地变化，如在讲函数y=Asin（ωx+φ）的图象时，传统教学只能将A、ω、φ代入有限个值，观察各种情况时的函数图象之间的关系；利用《几何画板》则可以以线段b、T的长度和A点到x轴的距离为参数作图（如图1），当拖动两条线段的某一端点（即改变两条线段的长度）时分别改变三角函数的首相和周期，拖动点A则改变其振幅 ，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。
《几何画板》在高中代数的其他方面也有很多用途。比如，借助于图形对不等式的一些性质、定理和解法进行直观分析──由“半径不小于半弦”证明不等式“ ”等；再比如，讲解数列的极限的概念时，作出数列 的图形（即作出一个由离散点组成的函数图象），观察曲线的变化趋势，并利用《几何画板》的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与0的绝对值”列表，帮助学生直观地理解这一较难的概念。
2、《几何画板》在立体几何教学中的应用
立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质；它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，无疑是认识上的一次飞跃。初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲真象的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用《几何画板》将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。
像在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割成棱台的过程（如图13），更可以让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直观掌握棱台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣；在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程（如图14），既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力。
图13
图14
3、《几何画板》在平面解析几何教学中的应用
平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，它研究的主要问题，即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再通过方程，研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式作运动，曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。这样，《几何画板》又以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能作出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。
具体地说，比如在讲平行直线系y=x+b或中心直线系y=kx+2时，如图4所示，分别拖动图（1）中的点A和图（2）中的点B时，可以相应的看到一组斜率为1的平行直线和过定点（0，2）的一组直线（不包括y轴）。经过这个过程，学生不仅能很深刻地掌握直线系的概念，也锻炼了其思维的严密性。
五、总结
几何画板在数学中的运用，使得教师容易教，学生容易学。何乐而不为呢？那就感紧学习几何画板吧。
参考文献：
[1] 《信息技术与课程整合——深化学科教学改革的根本途径》作者：何克抗（北京师范大学现代教育技术研究所）
[2] 《信息技术与课程整合的研究与实践》作者：章剑卫 姚灶华
[3] 《关于信息技术与学科课程整合》作者：陈春雷（清华同方教育技术研究院学术委员会委员、原北京四中物理特级教师）
[4] 《动态演示数学定理》（《中国电脑教育报》2001年第44期）作者：蒋玉钦
[5] 《发挥计算机的潜力 推进数学教学改革》作者不详
[6] 《现代教育技术与数学教育》作者：王鹏远（北大 北京市海淀区数学CAI课题组）
[7] 《几何画板课件制作教程》作者：刘胜利