盘点出现在中考数学填空(选择)题中的影子问题

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影子对于我们来说，最熟悉不过了．然而影子问题却频频出现在中考数学填空题或选择题中，成为了一个新的热点．解决这类问题的关键是如何将实际问题抽象为数学模型，通过已学的相似三角形的知识来解决．虽然有些问题情景设置比较简单，但涉及到被测物体的影子分成好几部分的，有些同学理解起来就会比较困难，失分率比较高，甚至有的同学无从下手，特别是初学者尤为明显．下面就仅以平行光线照射下利用影长求物体高度问题为例，分三种类型说明这类问题的解答对策：

1 影子只有一段

1.1 影子全落在水平面上

1.1.1 影子不重合

例1 （2008年云南省（课改区））如图1，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是米．

分析 我们都知道在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例．设这棵槟榔树的高是x米，可得x∶5=1.5∶1,x=7.5（米）

图1图2

1.1.2 影子重合

例2 （2005年江苏省南京市）如图2，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m ,CA=0.8m, 则树的高度为米．

分析 由题意得ACE∽ABD，则ACAB=CEBD，即0.80.8+3.2=1.6BD，可得BD=8（米）．例3 例3（2009年陕西省）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图3所示，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m， CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB （结果精确到0.1m）．图3图4

分析 过点D作DGAB,分别交AB、EF于点G、H（如图4），则EH=AG=CD=1.2，由题意得DFH∽DBG，则FHBG=DHDG，即1.7-1.2BG=0.830，可得BG=18.75，所以AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0，即楼高约为20.0米．

1.2 影子全落在斜面上

例4 （2007年浙江省宁波市）如图5，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=14m，塔影长DE =36m，小明和小华的身高都是1.6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m与2m，那么，塔高AB =m．

图5 图6 图7

分析 可用两种方法解答此题：

法1 过点D作DFCD交AE于点F，过点F作FGAB于点G（如图6），则FG=BD=12CD=7．同一时刻小明站在斜坡面上身高与影长的比为1.6∶4，所以DF∶DE=1.6∶4，即BG∶36=1.6∶4，BG=14.4（米）．而同一时刻小华站在平地上身高与影长的比为1.6∶2，所以AG∶FG=1.6∶2，即AG∶7=1.6∶2，AG=5.6（米）．因此塔高AB =AG+BG=5.6+14.4=20（米）．

法2 延长CD交AE于点F（如图7）．同一时刻，同样身高的小明和小华影长分别为4m和2m，即同一时刻，相同物高竖立在坡面上与竖立在水平面上，影长之比为2∶1，由此可知DE∶DF=2∶1，即36∶DF=2∶1，DF=18（米），铁塔在水平面上形成的影长为BF=BD+DF=7+18=25（米），而同一时刻小华站在平地上身高与影长的比为1.6∶2，所以AB∶BF=1.6∶2，即AB∶25=1.6∶2，AB=20（米）．

2 影子分成两段

2.1 影子既有在地上部分，又有在墙上的

例5 （2007年甘肃省兰州市）赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图8，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为米．

图8图9

分析 我们可以这样理解，如果把旗杆“削短”，即经“削短”后的旗杆高度为原有高度减去落在墙上的影子的高度，那么此时旗杆的影子顶端将落在墙角，这种情形便演变为影子只有一段的情形．于是过点C作CEAB于点E（如图9），则AECE=11.2，即AB-29.6=11.2，可得AB=10（米）．

2.2 影子既有在地上部分，又有在斜面上的

例6 （2005年湖北省黄石市）小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上（如图10），量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米．

图10图11图12

分析 可用两种方法解答此题：

法1 过点D作DEBC交BC延长线于点E，过点D作DFAB于点F（如图11），则BF=DE=12CD=4，CE=43，DF=BC+CE=20+43．所以AFDF=12，即AB-420+43=12，可得AB=14+23（米）．

法2 延长AD、BC交于点F，过点D作DEBF于点E（如图12），则DE=12CD=4，CE=43，BE=BC+CE=20+43．由DEEF=12，即4EF=12，可得EF=8（米），BF=BE+EF=28+43．由ABBF=12，即AB28+43，可得AB=14+23（米）．

例7 （2009年台州椒江区第五中学中考模拟卷）已知：如图13，斜坡PQ坡度为i=34，离坡脚Q的点N处有一棵大树MN．近中午的某个时刻，太阳光线正好与斜坡PQ垂直，光线将树顶M的影子照射在斜坡PQ上的点A处．如果AQ=4米，NQ=1米，则大树MN的高度为米．

图13图14

分析 延长MA交NQ于点B（如图14），i=tan∠AQB=ABAQ=AB4=34，AB=3．由勾股定理得，BQ=5，BN=NQ+BQ=1+5=6．因为tan∠MBN=MNBN=AQAB=43，即MN6=43，所以MN=8（米）．

例8 （2009年浙江省上虞市适应性考）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根垂直于水平地面长为1米的竹竿，其水平地面上的影长为0.4米．同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子分为两部分，如图15所示．若测得水平地面上影子长为2.8米，斜坡上影子长恰好是2米，已知斜坡与水平面所成的钝角度数为150°，则树高为米（结果精确到0.01）．

图15图16

分析 过点C作CD∥BE交AB延长线于点D，过点E作EFCD于点F（如图16），则∠ECD=30°，BD=EF=12CE=1，CF=3，CD=CF+DF=CF+BE=2.8+3 ．同一时刻竹竿在水平面上竿高与影长的比为1∶0.4，所以AD∶CD=1∶0.4，即(AB+1)∶(2.8+3)=1∶0.4，AB=12+532≈10.33（米）．

3 影子分成三段

例9 （2008年浙江省绍兴市）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图17所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为米．

图17图18

分析 影子既有在地上部分，又有在台阶踢面上的，还有在台阶踏面上的．过点D作DFAB于点F（如图18），则EF=DE+DF=4.4+0.2=4.6，由AFEF=10.4，即AB-0.34.6=10.4，可得AB=11.8（米）．

作者简介 徐骏，男，1978年12月生，浙江上虞人，中学一级教师，主要从事课堂有效教学研究和解题教学研究．有多篇论文（案例）获市一等奖，在省级以上专业期刊30余篇.