求解不等式恒成立中参数问题的五大策略

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不等式恒成立中参数的求解问题由于涉及的知识面比较广，综合性强，因而是高考和竞赛的重点和热点.下面就解决此类问题的五种策略作如下的总结，供同学们参考.

策略一：利用一次函数的性质

若已知f（x）=ax+b>0对x∈[m，n]恒成立，则f（m）>0，f（n）>0，若已知f（x）=ax+b

例1.对于满足0≤p≤4的实数p，使x2+px>4x+p-3恒成立的x的取值范围是__________.

解析：不等式x2+px>4x+p-3可以化为（x-1）p+x2-4x+3>0，记g（p）=（x-1）p+x2-4x+3，g（0）=x2-4x+3>0，g（4）=4（x-1）+x2-4x+3>0，解得x>3或x

【点评】本题是多元参数问题，如果按照常规思路确定主元会导致问题复杂化.变换主元是一种将题目中的“主元”看作“辅助元”， “辅助元”看作“主元”，的解题方法，化多元问题为一元问题，可以降低思维难度.解决这类问题的关键在于确定哪个量是主元，方法通常为“用范围，求范围”，即把已知范围的量作为主元，要求的量作为辅助元（参数），这种变换主元的方法是解决恒成立问题的一种重要策略.

策略二：利用二次函数的性质

形如不等式ax2+bx+c>0（

当ax2+bx+c>0对于x∈R时恒成立时，得到a>0，？驻=b2-4ac

当ax2+bx+c

例2. 已知关于x的二次不等式（k2+4k-5）x2+4（1-k）x+3>0的解集为R，则实数k的取值范围为__________.

解析：当k2+4k-5=0时，要使原不等式的解集为R， 则必有一次项系数也为零，且常数项大于零.

即k2+4k-5=0，4（1-k）=0，3>0， 解得k=1.

当k2+4k-5≠0时，由二次函数的图像可得k2+4k-5>0，？驻=16（1-k）2-12（k2+4k-5）

综上，k的取值范围为1≤k

【点评】应用判别式法研究恒成立问题的适用范围一般都是一元二次不等式对于x∈R时恒成立问题，其特点非常明显.

策略三：分离参数法

把不等式恒成立问题中的某个要求的变量分离到不等式的一边，使得另一边不含这个变量，从而转化为求函数的最值问题，这种方法适用于参数与变量都能分离且分离后函数的最值容易求出.

例3. 已知函数f（x）=lnx，g（x）=■（a>0），设F（x）=f（x）+g（x）.

⑴若以y=F（x）（x∈（0，3]）图像上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≥■恒成立，求实数a的最大值；

⑵若对所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围.

解析：⑴F′（x）=■（0

即a≤（-■x02+x0）min，当x0=3时取得最小值-■.

所以，a≤-■，所以amax=-■.

⑵因为x≥e，所以xlnx≥ax-a？圳a≤■，令h（x）=■，x∈[e，+∞），则h′（x）=■.

因为当x≥e时，（x-lnx-1）′=1-■>0，所以x-lnx-1≥e-lne-1=e-2>0，

所以h′（x）>0，所以h（x）min=h（e）=■，所以a ≤■.

【点评】本题通过不等式的恒解变形把参数分离出来，转化为形如af（x））的形式，然后再求f（x）的最值，进而得到af（x）max）.

策略四：最值法

有些不等式恒成立问题不能够分离参数，那么需要我们根据不等式两端的函数的最值之间的不等式，确定参数所满足的不等式，从而求出参数范围.

例4. 已知不等式（x+y）（■+■）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 .

解析：（x+y）（■+■）=1+a+■+■≥1+a+2■=（■+1）2，当y=■x时取等号， （x+y）（■+■）的最小值为（■+1）2.于是（■+1）2≥9恒成立，a≥4.

【点评】本题主要是通过对左边的式子（x+y）（■+■）利用基本不等式求出最小值，进而构造出关于参数的不等式.

策略五：数形结合法

某些含参数的不等式恒成立问题，既不能够分离参数，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，则可以采用数形结合的方法，对于这类问题我们可以先把不等式（或者经过变形后的不等式）两端的式子看成两个函数，且在同一坐标系下画出它们的图像，然后观察两个图像（尤其要注意交点处和临界处）的位置关系，进而列出含参数的不等式.

例5. 不等式（x-1）2

解析：如果将两边分别设成两个函数y1=（x-1）2和y2=logax，则它们的图像分别如图所示，要使不等式

（x-1）21，loga2≥（2-1）2，即1

【点评】解决本题的关键是在同一坐标系内分别作出两个函数y1=（x-1）2和y2=logax的图像，通过题意寻找临界情况（特别是交点处）的位置关系，从而列出关于参数的不等式.

解决不等式恒成立问题时，同学们首先要构建函数模型，然后求这个函数的最值.最后采取不等式恒成立问题的五种处理策略进行求解，构建函数模型是手段，求函数最值是关键.

【小试牛刀】

1. 若不等式3x2-logax

2. 若a，b均为正实数，且■+■≤m■恒成立，则实数m的取值范围是__________. （答案：■）

3. 若x∈（1，+∞），不等式■>x恒成立，则实数？姿的取值范围为__________. （答案：（-∞，1]）

4. 设函数f（x）=x-■，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）

（作者单位：江苏省通州高级中学）

责任编校 徐国坚