浅谈独立事件与条件概率

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新教材中加入了《独立事件与条件概率》内容，在讲解本部分内容中，我发现学生由于对相关公式和定义的理解不够准确，导致出现相互混淆的情况.针对这些情况，本文结合例题浅谈二者之间的联系与区别。

一、理清概念，避免混淆

例1.在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次抽出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是多少？

学生错解：记事件A为“第1次取出是红球”，事件B为“第2次取出是红球”，事件AB为“第1次和第2次取出都是红球”。

由题可得：P（AB）=6×510×9=13，P（A）=610=35，P（B）=59

所以P（B|A）=P（AB）P（A）=13×53=59。

学生由此得到，P（AB）P（A）=P（BA）=P（B）=59，即P（AB）=P（A）P（B）……①

所以学生认为事件A与事件B互为独立事件.可是，第1次摸出红球会影响第2次摸出红球事件，即事件A的发生影响事件B发生的概率.这与事件A与事件B互为独立事件相矛盾.这是为什么呢？学生陷入了困惑之中。

针对学生这种定义混淆的情况，我先让学生回顾条件概率与独立事件的定义，搞清楚P（AB），P（AB）以及A与B互为独立事件的定义.P（AB）表示在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，则称此概率为B发生时A发生的条件概率，公式为：P（AB）P（B）=P（AB）；P（AB）是指AB同时发生的概率或者事件A与事件B交的概率；A与B互为独立事件是指事件A（或B）的发生不影响事件B（或A）的发生的概率，即P（AB）P（A）=P（BA）=P（B），则A与B互为独立事件，公式为：P（AB）=P（A）P（B）.所以在P（BA）=P（B）的情况下，求条件概率问题可以转化为求独立事件的概率问题。

需要注意的是，P（AB）相当于把B事件看作新的基本空间，AB发生的概率，即A事件面对的对象不是全体而是事件B，面对的事件变小了；理解独立事件的本质：一个事件是否发生对另一个事件是否发生不产生联系.事件相互独立性的概念可以推广到n个事件之间的相互独立，这也是高考的热点.而条件概率具有概率的一般性质，即概率值都在[0，1]内，若事件B，C互斥，则P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）等.定义阐述完后，引导学生思考例2。

二、启发求解，纠正错误

例2在5道题中，有3道选择题和2道解答题，如果不放回地依次抽取2道题：

（1）则第一次抽到选择题的概率是多少？

（2）则第一次和第二次都抽到选择题的概率是多少？

（3）则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到选择题的概率是多少？

解：记事件A为“第一次抽到选择题”，事件B为“第二次抽到选择题”，事件AB为“第一次和第二次都抽到选择题”.

所以（1）P（A）=35；（2）P（AB）=35×24=310；（3）P（BA）=P（AB）P（A）=12。

实际上，对于（3）问，也可以看作是在第一次抽到选择题后，第二次要抽到选择题，只能在剩下的2道选择题中任选一道.所以P（BA）=C12C14=24=12。

学生通过对比例2与例1，恍然大悟.发现了例1出现问题的原因，即“P（B）=59 ”.因为P（B）=59 ，并不是“第2次取出是红球”的概率，它包含以下两种情况，即“第一次取出是红球，第二次取出是红球；第一次取出是白球，第二次取出是红球”.所以P（B）=6×510×9+4×610×9=35。所以①式不成立，故事件A与事件B不互为独立事件。

对于例1的正解为：记事件A为“第1次取出是红球”，事件B为“第2次取出是红球”，事件AB为“第1次和第2次取出都是红球”.

方法一：由题可得：P（AB）=6×510×9=13，P（A）=610=35.

P（B|A）=P（AB）P（A）=13×53=59.

方法二：问题也可以看作由于第一次已摸到红球，所以第二次要摸到红球只能从余下的5个红球中摸1个，即P（BA）=C15C19=59。

三、拓展演练，体验真题

根据《2012年普通高等学校招生全国统一考试大纲》（理科・课程标准实验版）对本部分内容的要求为“了解条件概率和两个事件相互独立的概率，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题”，引导学生思考例3、例4，以进一步区别二者之间的关系，体会求解此类问题的方法与技巧.

例3（2011年湖南理15）如图1，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）P（A）=；（2）P（BA）=

解：（1）由几何概型概率计算公式可得P（A）=S正S圆=2π；

（2）由条件概率的计算公式可得P（BA）=P（AB）P（A）=2π×142π=14

点评：本题主要考查几何概型、条件概率的有关知识，注意不要混淆P（BA）与P（AB），即可解决相关问题。

例4（2012年全国卷Ⅱ理19）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率。

解：记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，=0，1，2；

点评：本题主要考查了关于独立事件的概率求解.求解时，首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况进行分析讨论，并结合独立事件的概率求解结论，注意在讨论时不重不漏。

从近年的高考试卷上可以知道，在概率问题中，考查条件概率的问题并不多，而求独立事件的概率是最常见的.考查内容从独立事件的定义开始，一直延伸到与概率有关的综合问题中。命题形式也多种多样，从选择、填空到解答题都会与这一概念相联系，但同时也注意到高考对这部分内容难度要求不很高.因此，对这一部分内容不仅要加强对概念的理解，更要通过训练掌握一些解题的通法。

（作者单位：民族学院附属中学712082）