例析计算题中的梯形问题
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梯形中的计算问题是一种重要的题型,这样的题目对于培养学生分析问题、解决问题的能力是很有必要的。现结合2009年的考题,把梯形的计算问题归纳如下,供同学们学习时参考。
一、计算梯形角的大小
例1(哈尔滨)如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,DCBC,将梯形沿对角线BD折叠,点A恰好落在DC边上的点A′处,∠A′BC=20°若,则∠A′BD的度数为(?摇).
A.15°?摇B.20°?摇C.25°?摇D.30°
分析:由已知条件可知梯形ABCD是直角梯形,且∠A′BC=20°,于是先证两三角形全等,再利用三角形外角和定理即可求解.
解:根据折叠的意义,得:BAD≌BA′D,
因此,∠BAD=∠BA′D,∠ABD=∠A′BD;
根据三角形外角和定理,得:∠BA′D=∠A′BC+∠C,
由∠A′BC=20°,∠C=90°,
∠BA′D=∠A′BC+∠C=20°+90°=110°,
由AD∥BC,得:∠BAD+∠ABC=180°,
因此,∠ABC=70°,
由∠ABC=∠ABD+∠A′BD+∠A′BC=70°,
2∠A′BD=50°,即∠A′BD=25°.
故选C.
点评:本题给出的是角的关系,梯形沿对角线BD折叠很容易想到三角形全等。
二、计算梯形的高
例3(广西崇左)如图2,在等腰梯形中ABCD,已知AD∥BC,AB=DC,AD=2,BC=4,延长BC到E,使CE=AD.
(1)证明:BAD?艿DCE;
(2)如果ACBD,求等腰梯形ABCD的高DF的值。
分析:对于等腰梯形而言,其特点是两条腰相等,两条对角线相等,同一底上的两个底角相等.在解题时,这些都是解题的隐含条件,要特别注意.
证明:(1)证明:AD∥BC,∠CDA=∠DCE.
又四边形ABCD是等腰梯形,∠BAD=∠CDA,
∠BAD=∠DCE.
AB=DC,AD=CE,
BAD?艿DCE.
(2)AD=CE,AD∥BC,四边形ACED是平行四边形,
AC∥DE.
ACBD,DEBD.
由(1)可知,BAD?艿DCE,DE=BD.
所以,BDE是等腰直角三角形,即∠E=45°,
DF=FE=FC+CE.
四边形ABCD是等腰梯形,而AD=2,BC=4,
FC=1
CE=AD=2.
DF=3
点评:解决有对角线与底边夹角的有关问题,一般是把其中一条对角线向外平移,平移后梯形转化为平行四边形和特殊的三角形问题,运用各自的性质解题.
三、计算梯形的下底长
例4(济宁市)如图5,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3cm,AB=4cm,∠B=60°,则下底BC的长为______cm.
分析:如图3,过点A作AFBC,垂足是F,过点D作DEBC,垂足是E,所以,四边形ADEF是一个矩形,所以,AD=FE=3,
根据等腰梯形的性质,易证明ABF≌DCE,因此,BF=CE,这样,BC=2BF+EF,只需在三角形ABF中,求得BF的长就可以了。
解:如图5,过点A作AFBC,垂足是F,过点D作DEBC,垂足是E,
四边形ADEF是一个矩形,所以,AD=FE=3,
AB=CD,AF=DE,
ABF≌DCE,(HL),
BF=CE,
AB=4,∠B=60°∠BAF=30°
BF=■AB=■×4=2,
BC=2BF+EF=4+3=7,
即梯形的下底长为7cm。
点评:把不熟悉的内容转化为熟悉的内容,把复杂的图形转化为熟悉的图形是数学中常用的转化思想,解决梯形问题时经常运用,要注意掌握梯形中的有关转化方法.
四、计算梯形的周长
例5(山东淄博)如图4,梯形ABCD中,∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P,若EF=3,则梯形ABCD的周长为()
A.9?摇 B.10.5?摇C.12?摇D.15
分析:要求梯形ABCD的周长,已知∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P,若EF=3,只要根据条件求出BE和CF的长即可.
解:梯形的中位线性质,得:AD+BC=2EF,由EF=3,所以,AD+BC=6;
由∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P,
得:∠EBP=∠CBP,∠FCP=∠BCP,
由EF∥AD∥BC,
得:∠EPB=∠CBP,∠FPC=∠BCP,
因此,∠EPB=∠EBP,∠FPC=∠FCP,
BE=EP,FP=FC,
BE+FC=EP+FP=EF=3,
AB+CD=2BE+2FC=2EF=6,
因此,梯形ABCD的周长为6+6=12.
故选C.
点评:本题是对角平分线、梯形中位线知识计算周长的考题,解题时要充分挖掘题目中的已知条件来解决问题,这种方法往往在梯形问题中起到相当关键的作用.
作者单位:
江苏新沂市港头中学
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