一题多解,激发学生思维

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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）08-0152-02

高三复习课中的“讲评课”若注重“一题多解”，既可以让学生了解各知识模块之间的联系，又可以培养学生创新性思维、发散性思维的能力，从而达到数学要教会学生运用所学知识解决问题的目的。下面以一道圆锥曲线习题为例谈谈。

例题：如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|=2∶1。

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线l1：x=m（|m|>1），P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）。

（Ⅰ）椭圆方程■+■=1（解法略）

（Ⅱ）解法1分析：容易想到余弦函数，在PF1F2中利用余弦定理转化为函数最值问题，但是余弦定理较复杂且要利用距离公式计算PF1、PF2，故此法计算量较大。

详解：设P（m，y）（注以下文中的点P）由余弦定理得：

cos∠F1PF2=■=■

=■

又因为|m|>1，所以所以cos∠F1PF2>0，所以

cos∠F1PF2=■

=■≥■

当且仅当y2=m2-1即y=±■取等号，由∠F1PF2∈（0，■）且y=cosx在（0，■）上单调递减可知：当y=±■时，cos∠F1PF2取最小值，∠F1PF2最大，所以满足要求的点Q（m，±■）。

解法2分析： 观察到图形中有直角三角形，可以想到利用正切函数避免法1中的距离计算。

详解：tan∠NPF2=■，tan∠NPF1=■

tan∠F1PF2=tan（∠NPF2-∠NPF1）=■

=■=■

|m|>1m2-1tan∠F1PF2=■≤■当且仅当y=±■取等号

由y=tanx在（0，■）上递增可知：当y=±■时，∠F1PF2最大，所以满足要求的点Q（m，±■）。

解法3：分析：如果利用正弦函数，可以使用等面积法构造函数。

详解：S■=■F1F2・|y|=■PF1・PF2sin∠F1PF2

y2=[（m-1）2+y2][（m+1）2+y2]sin2∠F1PF2

sin2∠F1PF2=■

=■≤2（m2-1）当且仅当y=±■取等号。

由当y=tanx在（0，■）上递增可知：当y=±■时， ∠F1PF2最大，所以满足要求的点Q（m，±■）。

解法4：分析：利用正弦函数，还可以用正弦定理，得到如下妙解！

详解：由正弦定理：■=2R sinF1PF=■

要使得∠F1PF2最大，必需使F1PF的外接圆半径最小，由图可知，外接圆圆心，定在y轴上，设圆心为O，P到y轴的距离最短为m，故设圆心O（0，y）

由OP=OF1得m2=1+y2 y=±■Q（m，±■）。

以上四种解法：解法2最常规，解法4最巧妙，运算量最小。同时解题中运用了三角函数、函数最值、正余弦函数、不等式等几大模块的知识点，在学生头脑中有机地建构起知识的网络，更重要的是培养了学生的思维能力，体现了高效课堂的要求。但同时要注意避免盲目追求一题多解，产生消弱最优解、重点知识、化简为繁等错误，教学过程中，应多启发引导学生，让学生自己得出相关解法为优！