MIMO天线资源分配方案
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【摘要】建立天线分组前后的注水功率分配模型，阐述了最优天线分组方案。
1.引言
MIMO系统的天线分组问题，通常指的是将发送天线分成不同的组别，在每个天线组内设计天线的复用方案，而在每个天线组之间考虑分集增益，从而在分集与复用之间寻求折中方案，使得系统性能和计算复杂度能够满足一定的设计要求。而在大规模MIMO系统中由于发送天线的数目非常之多，RF链路上有大量的功率消耗。如果考虑一种特殊的天线分组方案，令多根天线共用同一条RF链路作为一个天线组，同时将原本RF链路上所消耗的功率补偿至发送功率。虽然这种共用RF链路的做法想当于降低了发送端的天线自由度，但是由于发送功率得到了补偿。只要能够选择出适当的天线分组方案，就能够在发送端总的消耗功率不变的情况下提高系统性能。从另外一个角度来考虑，如果前提条件是系统性能需要达到一定的门限，那么通过天线分组方案可以降低发送端的总功率消耗。
2.系统场景
考虑一个发送端有Nt根发送天线，接收端有Nr根接收天线的大规模MIMO通信系统。假设发送天线数远大于接收天线数，即NtNr。发送端每一根发送天线都配备了一条RF链路，本章在保持基站总的消耗功率不变的条件下，将发送天线进行分组，每组有Nt'根发送天线，共分为M组。为简单起见，此处假设Nt刚好能被Nt'整除，则有Nt'=M×Nt'，并且分组后同样有M>Nr。天线分组示意图如图1所示。
图1 大规模MIMO系统天线分组示意图
图中，RFn表示每一根发送天线对应的RF链路，l≤n≤Nt。用虚线画出的RF链路是进行天线分组后所节省下来的部分。假设每条RF链路上所消耗的固定功率为Pc，在进行天线分组之前天线的总发送功率为Ps，基站的总消耗功率为PBS，则有：
PBS=NtPc+Ps （1）
分组后，每组发送天线共用一个RF链路，将通过天线分组减少的RF链路节省出的功率补偿到天线的发送功率上，令此时的天线总发送功率为Ps'，则有：
PBS=MPc+Ps' （2）
令x∈Nr×1表示发送信号向量，向量中的元素xi表示基站每一根发送天线上所发送的符号，1≤i≤Nt。本章中将发送信号功率归一化，即E{xxH}=INt，基站与用户之间的信道记为H=|h1，h2，…，hNt|，其中hi是H的列向量，即每一根发送天线所对应的信道增益。令对角阵为功率分配矩阵，其中Pi表示分配给第i根发送天线也即第i个发送符号上的功率。则用户所接收到的信号可以表示为：
y=HPx+n （3）
式中，n∈Nr×1为用户所接收到的加性高斯白噪声，噪声功率为σ2。
3.问题表述
当发送端对发送功率进行平均分配时，由上节的描述可知，未进行天线分组时天线的总发送功率为Ps。而进行了天线分组之后天线的总发送功率由式和式（2）可知：
Ps'=Ps+（Nt-M）Pc （4）
显然，有Ps'>Ps，而在信道增益相同且功率分配方案相同的条件下，系统容量随发送功率的增加而递增。所以天线分组在平均分配功率的情形下，可以提高系统的容量。由文献[3]可知，注水功率分配算法可以在发送端已知完美CSI的条件下，最大化系统容量。假设系统在进行天线分组前采用的是注水功率分配方法。将天线分组后的每一组发送天线作为一根等效发送天线，在对等效发送天线进行注水功率分配的基础上，对每一组中的天线平均分配功率。由于等效发送天线的数目少于原有发送天线，天线分组后的系统容量应该低于天线分组之前的，且等效天线越少，容量损失越多。然而由于天线分组节省了一部分RF链路的硬件功率开销，并将这一部分功率补偿给了发送功率，这对于系统容量是有一定提升的，且等效天线越少，容量提升越多。所以，合理的对发送天线进行分组，在系统总消耗功率不变的情况下，可以使得系统容量有所提升。
3.1 天线未分组时注水功率分配方案下的系统容量
由式（3）可知系统的容量可以表示为：
（5）
那么最大化系统容量的功率分配问题可以描述为：
max{C}
s.t.tr{PPH}≤Ps （6）
式中tr{・}表示求括号中矩阵的迹。
将信道矩阵H进行奇异值分解（SVD）可得：
H=UVH （7）
式中，U∈Nr×Nr 和V∈Nt×Nt均为酉矩阵。∈Nr×Nt是一个半正定对角矩阵，矩阵中的元素表示H的奇异值。那么，HHH=UHUH，其中H为对角矩阵，记为diag（λ1，λ2，…λrank（H），0，…，0），其中λi是HHH的非零特征值，1≤i≤rank（H）。为方便后续分析，此处已将λi按从大到小的顺序排列，即λ1>λ2>，…>λrank（H）。则矩阵H的奇异值为，由于矩阵H满秩且Nt>Nr，所以有rank（H）≤Nr。
将式（3）中的发送信号向量x左乘矩阵V，并且在接收端对接收向量左乘矩阵UH。
得到如下表达式：
UHy=UHUVHPVx+UHn （8）
令UHy=，UHn=，则此时系统的容量可以表示为：
（9）
式中Pi应满足条件。显然最大化系统容量的功率分配可以转化为一个条件极值问题，即：
（10）
根据拉格朗日常数法，可得：
（11）
由于发送功率只可能为正值，所以注水功率分配的结果应该为：
（12）
并且式中的m值可以通过式（11）中的约束条件求得。此时，式（9）所得到的系统容量就是注水功率分配下的最大容量。
3.2 天线分组后分层注水功率分配方案下的系统容量
将发送天线每Nt'根分为一组称为一个天线组，一共有M个天线组。首先将M个天线组当成M根等效发送天线，并在这M根等效发送天线上注水功率分配。然后每一个天线组中的发送天线上平均分配发送功率，将这种功率分配方案称为分层注水功率分配方案。令此时系统的等效信道为，是每一个天线组所对应的信道，它应该是该天线组中每一根发送天线所对应信道求平均所得到的。即：
（13）
令天线分组后的功率分配矩阵为：
经过SVD分解所得到的奇异值为，同样令，1≤i≤rank（）。由于已经假设矩阵满秩且M>Nr，则同样有≤rank（）≤Nr。
由式（12）可得此时第i个天线组上所分配的功率应该为：
（14）
由于可供分配的总发送功率发生了变化，应由如下等式得到：
（15）
由于每一个天线组中的所有天线共用一个RF链路，发送端只能已知平均后的等效信道，所以第i个天线组所对应的信道容量为：
（16）
天线分组后系统的总容量为：
（17）
从以上分析可以发现，天线分组会导致一部分系统容量的损失。但是在考虑RF链路消耗的情况下，通过将RF链路上节省出来的功率补偿给发送功率，又可以在一定程度上提高系统容量。这取决于将所有的发送天线分为多少组，即选择一个合理的M使得系统容量有所提升。上述发送天线分组问题可以描述为以下数学模型：
4.最优天线分组方案
对比天线分组前后的系统容量，要找出使得容量增加的分组方案，则需要求解下列不等式：
（18）
令天线分组前后系统中发送功率不为零的独立子信道个数分别为K和，则式（18）可以写成：
（19）
式中：
（20）
并假设天线的发送总功率足够大以至于能够保证每个独立子信道上都能够分配功率，即K==Nr，解出M的整数解集便是符合条件的分组方案。显然当M为整数时，可供分组的方案个数并不多，所以将所有方案的系统容量计算出来在进行选择的复杂度并不高，可以用穷尽搜索来得到最优解。
5.结束语
在不同的发送天线数目与接收天线数目的组合时，不同的天线分组有可能提高或降低系统容量。而通过分组可能性的搜索可以找到合理的天线分组方案从而提高系统容量。在发送天线的功率不能太高的实际条件下，考虑保持原有的系统容量，通过天线分组可以降低发送端总的功率消耗，并减少硬件元件的建造成本。
参考文献
[1]K.Kim and J.Lee，Antenna grouping techniques for MIMO beamforming systems[C].42nd Asilomar Conference on Signals，Systems and Computers， 2008：393-397.
[2]H.Chen and A.M.Haimovich，Layered MIMO scheme with antenna grouping[C].IEEE International Conference on Communications，2004：478-482.
[3]D.Tse and P.Viswanath，Fundamentals of wireless communication[M].Cambridge university press，2005.
作者简介：陈F枫（1992―），男，大学本科，现就读于东南大学，研究方向：大规模MIMO天线。