南京师大附中 江苏启东中学月考试卷调研

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（说明：本套试卷满分150分，考试时间120分钟）

首先，试卷的题型新颖，方法灵活；坚持对基础知识、基本技能以及数学思想方法的考查．试卷能注重区分度，先易后难，使考生易于上手，但有些题考生易错，中档题和高难题比例也较合理，变一题把关为多题把关．

其次，试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求. 加强应用意识，体现现实联系．如第18题考查的是计算游客人数的实际问题，重点考查考生对现实问题的数学理解．

最后，试题突出对学科主干知识考查，8个c级考点全部重点考查；注重知识之间的交叉、渗透和综合，以检验考生能否形成一个有序的网络化知识体系．

难度系数：

适用版本：课标版

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1． 集合A=｛0，2｝，B=｛1，a2｝，若A∪B=｛0，1，2，4｝，则实数a的值为____．

2． 已知a是实数，是纯虚数，则a=______．

3． 若数列｛an｝满足：a1=1，an+1=2an（n∈N?鄢），则前6项的和S=______．

4． 已知角α的终边经过点P（x，－6），且tanα=－，则x的值为______．

5． 设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是______．

6． 图1是2011年底CCTV举办的全国钢琴、小提琴大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为______．

7． 阅读程序框图2，该程序输出的结果是______．

8． 在约束条件x≥0，y≥0，y+x≤s，y+2x≤4下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是______．

9． 已知a≤1时，集合［a，2－a］有且只有3个整数，则a的取值范围是______．

10． 已知二次函数y=f（x）的图象为开口向下的抛物线，且对任意x∈R都有f（1－x）=f（1+x）． 若向量a=（，－1），b=（，－2），则满足不等式f（a•b）>f（－1）的m的取值范围为______．

11． 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连结原点O与点An（n，n+3），若用f（n）表示线段OAn上除端点外的整点个数，则f（1）+f（2）+…+f（2010）=______．

12． 若不等式x2+2xy≤a（x2+y2）对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为______．

13．已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条互相垂直的弦，AC，BD交于点M（1，），且AC=BD，则四边形ABCD的面积等于______．

14． 已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（a

二、解答题：本大题共6小题，共90分．

15． （14分）已知向量a=（sin3x，－y），b=（m，cos3x－m）（m∈R），且a+b=0． 设y=f（x）．

（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在，上图象最低点M的坐标．

（2）若对任意x∈0，， f（x）>t－9x+1恒成立，求实数t的取值范围．

16． （14分）多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE平面ABC，AE∥CD．

（1）求证：AE∥平面BCD；

（2）求证：平面BED平面BCD．

17． （14分）已知圆M的方程为x2+（y－2）2=1，直线l的方程为x－2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．

（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；

（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=时，求直线CD的方程；

（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

18． （16分）2011年国庆期间，天安门地区管理委员会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入和离开天安门的人数作了一个模拟预测． 为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即n=1；9点20分作为第二个计算人数的时间，即n=2；以此类推……． 把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位． 第n个时刻进入园区的人数f（n）和时间n（n∈N?鄢）满足以下关系（如图4）：

f（n）=3600（1≤n≤24），3600•3（25≤n≤36），－300n+21600（37≤n≤72），0（73≤n≤90），n∈N?鄢，第n个时刻离开园区的人数g（n）和时间n（n∈N?鄢）满足以下关系（如图5）：

g（n）=0（1≤n≤24），500n－12000（25≤n≤72）5000（73≤n≤90），n∈N?鄢 ．

（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有多少游客；

（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多的时刻．

19． （16分）已知定义在R上的函数f（x）和数列｛an｝满足下列条件：

a1=a，a2≠a1，当n∈N?鄢且n≥2时，an=f（an－1）且f（an）－f（an－1）=k（an－an－1）． 其中a，k均为非零常数．

（1）若数列｛an｝是等差数列，求k的值；

（2）令bn=an+1－an（n∈N?鄢），若b1=1，求数列｛bn｝的通项公式；

（3）试研究数列｛an｝为等比数列的条件，并证明你的结论．

说明：对于第3小题，将根据写出的条件所体现的对问题探究的完整性，给予不同的评分．

20． （16分）已知函数f（x）=x2+mx+nlnx（x>0，实数m，n为常数）．

（1）若n+3m2=0（m>0），且函数f（x）在x∈［1，+∞）上的最小值为0，求m的值；

（2）若对于任意的实数a∈［1，2］，b－a=1，函数f（x）在区间（a，b）上总是减函数，对每个给定的n，求m的最大值h（n）．

附加题

21． 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，选定其中两题解答．

A． 选修4-1：几何证明选讲（10分）

如图6，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M，T（不与A，B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．

（1）求证：DT•DM=DO•DC；

（2）若∠DOT=60°，试求∠BMC的大小．

B． 选修4-2：矩阵与变换（10分）

求直线2x+y－1=0在矩阵1 20 2作用下变换得到的直线方程．

C． 选修4-4：坐标系与参数方程（10分）

已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：x=1+cosθ，y=sinθ（θ为参数，θ∈R）上运动． 以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+=0．

（1）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，点M在曲线C上移动，试求ABM面积的最大值．

D． 选修4-5：不等式选讲（10分）

关于x的不等式lg（x+3?摇－x－7）

（1）当m=1时，解不等式；

（2）设函数f（x）=lg（x+3?摇－x－7），当m为何值时， f（x）

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．

22． 如图7，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=， M是棱CC1的中点．

（1）求证：A1BAM；

（2）求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值．

23． 袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为． 现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止． 用X表示取球终止时取球的总次数．

（1）求袋中原有白球的个数；

（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．