线性规划, 想说懂你很容易

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【摘 要】 线性规划是近两年高考的必考内容。学习简单线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值（最大值或最小值）问题。而有关的题型种类较多，变化多样，应用线性规划的思想解题不能完全拘泥于课本中的z=ax+by的形式，下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划求最值问题。

【关键词】 线性规划；函数；解题思路

一、 目标函数形如z=ax+by型：

例1 （2008.全国Ⅱ） 设变量x， y满足约束条件：y≥xx+2y≤2x≥-2，则z=x-3y的最小值是（ ）

A. -2 B. -4 C. -6 D. -8

解： 画出可行域图，由z=x-3y可得y=■x-■，所以-■表示直线y=■x-■的纵截距， 由图可知当直线过点A（-2，2）时，z的最小值是-8，选D.

二、 目标函数形如型：

例2 （2007.辽宁） 已知变量x， y满足约束条件x-y+2≤0x≥1x+y-7≤0， 则■的取值范围是（ ）

A. ■，6 B.（-∞，■]∪[6，+∞）

C. （-∞，3]∪[6，+∞） D.[3，6]

解： 画出可行域图，■表示可行域内的点（x，y）与原点连线的斜率，求得A（1，6），C（■，■），且求得KOA=6，KOC=■，所以■≤■≤6，选A.

三、目标函数形如z=abx+cy型：

例3 （2008.北京） 若实数x， y满足x-y+1≥0x+y≥0x≤0，则z=3x+2y的最小值是（ ）

A. 0 B. 1 C. ■ D. 9

解： 画出可行域图，令u=x+2y，当x=y=0时u最小为0，则z=3x+2y的最小值是1. 故选B.

四、 目标函数形如z=■型：

例4.已知x， y满足x≥04x+3y≤12y≥x，则■的取值范围是（ ）

A. [1，5] B.[2，6] C.[2，10] D.[3，11]

解： 画出可行域图，因为■=■=1+■，其中■可视作可行域内的点与点C（-1，-1）连线的斜率，且求得KCA=5，KCB=1，所以由图可知1≤■≤5，所以3≤■≤11选D.

五、 目标函数形如z=■型：

例5. 已知x，y满足x+2y-2≤0x≥0，y≥0， 求z=■的最大值和最小值.

解： 画出可行域图，目标函数的几何意义是可行域的点（x，y）与点C（1，1）的距离，由图形易知点C与可行域内的点O（0，0）和A（2，0）的距离最大为■，而z的最小值是点C到直线x+2y-2=0的距离■，所以zmax=■，zmin=■

变式 已知x，y满足约束条件，求z=x2+y2的最大值和最小值，

解： 画出可行域图，z=x2+y2表示可行域内的点与原点O距离的平方，由图可知，|OA|最大，zmax=■2=61，最小值为点O到直线x+2y-3=0的距离的平方，zmin=■■=■.

除了上述的几种目标函数题型以外，还包括：目标函数形如z=|ax+by+c|型、目标函数形如z=ax2+by2型等都是比较常见的简单线性规划求最值问题，本文通过对目标函数体型的具体解析，希望对学生学习线性规划，提供一定的帮助。