山区对向三角高程测量代替三等水准的应用研究

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【摘 要】本文介绍了三角高程基本原理，并推导对向三角高程测量公式，在此基础上分析对向三角高程精度，并用实例验证了山区对向三角高程测量可以代替三等水准测量。对生产实践具有一定的参考意义和实用价值。

【关键词】三角高程；对向观测；三等水准

0 概述

用三角高程施测四等及以下水准已为国家规范所认可。随着仪器设备精度的提高及观测手段的改进，三角高程测量精度也得以提高。三角高程测量已经成为高精度高程控制测量的一种有效手段[4]，在丘陵、山区和跨河等地用水准测量法传递高程非常困难，而采用全站仪三角高程测量法传递高程非常方便、灵活。精密三角高程测量在一定条件和范围内可以代替等级水准测量，在三角高程测量中，对向观测法可以消除或减弱地球曲率和大气折光的影响，若使用高精度的全站仪，同时采用对向观测，在一定条件下能满足三等以上水准测量的精度要求，从而增加困难地区实施高等级水准测量的可实施性，极大提高了工作效率。

1 三角高程测量基本原理

三角高程测量的基本思想是根据由测站向照准点所观测的垂直角（或天顶距）和它们之间的水平距离，计算测站点与照准点之间的高差。

1.1 三角高程测量的基本公式

在控制测量中，由于距离较长，所以必须以椭球面为依据来推导三角高程测量的基本公式。

如图1所示。设s0为A、B两点间的实测水平距离。仪器置于A点，仪器高度为i1。B为照准点，砚标高度为v2，R为参考椭球面上■的曲率半径。■、■分别为过P点和A点的水准面。■是■在P点的切线，■为光程曲线。当位于P点的望远镜指向与PN相切的PM方向时，由于大气折光的影响，由N点出射的光线正好落在望远镜的横丝上。这就是说，仪器置于A点测得P、M间的垂直角为a1，2。

由图1可明显地看出，A、B两地面点间的高差为

h1，2=BF=MC+CE+EF-MN-NB（1）

式中，EF为仪器高i1；NB为照准点的觇标高度v2；而CE和MN分别为地球曲率和折光影响。由

CE=■S0■ MN=■S■■

式中R'为光程曲线■在N点的曲率半径。设■=K，则

MN=■・■s0■=■s0■

K称为大气垂直折光系数。

由于A、B两点之间的水平距离s■与曲率半径R之比值很小（当 s0=10km时，s0所对的圆心角仅5'多一点），故可认为PC近似垂直于OM，即认为PCM≈90°，这样PCM可视为直角三角形。则（1）式中的MC为

MC=s0tanα1，2

将各项代入（1）式，则A、B两地面点的高差为

h1，2=s0tanα1，2+■s0■+i1-■s0■-v2

=s0tanα1，2+■s0■+i1-v2

令式中■=C，C一般称为球气差系数，则上式可写成

h1，2=dtanα1，2+Cd2+i1-v2（2）

（2）式就是单向观测计算高差的基本公式。式中垂直角α，仪器高i和砚标高v，均可由外业观测得到。s0为实测的水平距离，一般要化为高斯平面上的长度d。则式（2）转化为

h1，2=dtanα1，2+Cd2+i1-v2（3）

1.2 对向观测计算高差的公式

三角高程对向观测，就是在测站A上向B点观测垂直角α1，2，而在测站B上也向A点观测垂直角α2，1，按（3）式有下列两个计算高差的式子。

由测站A观测B点

h1，2=dtanα1，2+i1-v2+C1，2d2

则测站B观测A点

h2，1=dtanα2，1+i2-v1+C2，1d2

式中，i1、v1和i2、v2分别为A、B点的仪器和觇标高度；C1，2和C2，1为由A观测B和B观测A时的球气差系数。如果观测是在同样情况下进行的，特别是在同一时间作对向观测，则可以近似地假定折光系数K值对于对向观测是相同的，因此C1，2=C2，1。从以上两个式子可得对向观测计算高差的基本公式

h1，2（对向）=dtan■（α1，2-α2，1）+■（i1-v1）-■（i2-v2）（4）

2 精度分析

2.1 高差中误差公式

根据误差传播定律对式（4）进行偏导，并转化为中误差关系式得

dh1，2（对向）=■（tanα1，2-tanα2，1）dd+■dα■（5）

-■dα■+di1-dv1-di2+dv2

di1、dv1、di2、dv2为钢卷尺量取仪器高、棱镜高误差。设di1=dv1=di2=dv2=di，因α1，2≈α2，1，设tanα1，2≈-tanα2，1≈tanα，cosα1，2≈cosα2，1≈cosα。则（5）整理为

dh1，2（对向）=tanαdd+■（dα■-dα■）+2di（6）

将式（6）转化为中误差公式时，由于为同型号仪器同精度观测，设 mα1，2=mα2，1=mα。则对向观测高差中误差公式为

mh=±■（7）

式中：mh为对向观测高差中误差，mm；m■为测距中误差，mm；mα为测角中误差，s；d为平均距离，km；m■为测定仪器高及棱镜高中误差，mm，取0.5mm。■ρ为常数取206265s。

2.2 观测值精度

对多测回测角、测边中误差精度分析如下。设对某角观测了n遍为α1，α2，…，αn，则最终该角的角度计算公式为

α=（α1+α2+…+αn）/n（8）

将式（8）微分得：

dα=（dα1+dα2+…+dαn）/n（9）