向量走进三角形的“心”
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新的一轮课程改革，向量进入高中数学教材.向量作为高中数学新增内容之一，又具有几何与代数的双重意义，备受关注.向量与三角形知识的交汇，成为高考命题及模拟考试的热点.特别是向量走进了三角形的“心”，即运用向量来探讨有关三角形的重心、垂心、外心，内心等问题，成为一道亮丽的风景线.
向量走近三角形，走进三角形的“心”中，注重向量的知识性，工具性的教学，考查，为提高学生的数学素养，培养学生的数学思维能力发挥着显著的作用.
一、向量走进三角形的“心”
定理1：已知ABC所在平面内一点G，则点G是ABC的重心？圳 + + =0.
证明：（1）当G是ABC的重心，如图1，AD是BC边上的中线，则 + =2 ，又因为 =-2 ，所以， + + =0.（2）若 + + =0，①设G′为ABC的重心，则由（1）可得： + + =0.②
①-② 得： + + =0？圯 =0？圯G与G′重合，说明点G是ABC的重心.
定理2：已知ABC所在的平面内的一点H，则点H是ABC的垂心？圳 ・ = ・ = ・ .
证明：（1）当点H是ABC的垂心.如图2， ？圯 ・ =0？圯 ・（ - ）=0？圯 ・ = ・ . ①
同理： ？圯 ・ =0？圯 ・（ - ）=0？圯 ・ = ・ ②
由①和②得 ・ = ・ = ・ . （2）若 ・ = ・ = ・ ？圯 ・（ - ）=0，？圯 ・ =0，？圯 ？圯HABC.
同理HBAC，HCAB，因此点H是ABC的垂心.
定理3：已知ABC所在平面内一点O，则点O是ABC的外心？圳（ + ）・ =（ + ）・ =（ + ）・ .
证明：（1）点O是ABC的外心，如图3，OA=OB=OC， 则 = = ，由 = ，？圯 - =0？圯（ + ）・（ - ）=0？圯（ + ）・ =0.
同理可得，（ + ）・ =0，（ + ）・ =0，所以（ + ）・ =（ + ）・ =（ + ）・ .
（2）若（ + ）・ =（ + ）・ =（ + ）・ ，于是（ + ）・（ - ）=（ + ）・（ - ）=（ + ）・（ - ）？圯 - = - = - ？圯 = = ？圯OA=OB=OC，则点O为ABC的外心.
定理4：已知ABC所在平面内的一点I，则点I是ABC的内心？圳 ・ + ・ + ・ =0.
证明：（1）当I是ABC的内心，由I点向各边引垂线，垂足分别是为D，E，F，如图4，得ID=IE=IF. ①
现在我们先来证明：
SIBC・ +SICA・ +SIAB・ =0. ②
以I为原点，IA为x轴建立直角坐标系，如图5，设 =（p，0）， =（qcosα，qsinα）， =（rcosβ，rsinβ），则SIBC= qr・
sin（β-α），SICA= prsin（2π-β）=- prsinβ，SΔIAB= pqsinα，SIBC・ +SICA・ +SIAB・ = qrsin（β-α）・（p，0）- prsinβ・（qcosα，qsinα）+ pqsinα・（rcosβ，rsinβ）= pqr[sin（β-α）-（sinβcosα-cosβsinα）]+ pqr（sinαsinβ-sinαsinβ）=（0，0）=0.
即 ・ID・ + ・IF・ + ・IE・ =0. ③
由①和③得 ・ + ・ + ・ =0.
（2）若 ・ + ・ + ・ =0. ①
设点I′是ABC的内心，则由（1）知 ・I′A+ ・I′B+ ・I′C=0. ②
由①-②得 ・ + ・ + ・ =0？圯（ + + ）・ =0？圯 =0则I与I′重合，所以点I是ABC的内心.
二、向量走进三角形“心”中的一些数学问题的教学研究
例1 设点O是ABC所在平面内一点， ・ = ・ = ・ ，则点O是ABC的 （ ）
A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心
由定理2，易知选B.
例2 O为ABC所在平面内一点，且满足 + = + = + ，则点O是ABC的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解：由 = =（ - ）2= + -2 ・ ， = + -2 ・ ， = + -2 ・ ，代入已知的等式中，？圯 ・ = ・ = ・ 所以由定理2，选D.
例3 设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0，平面向量b1，b2，b3满足bi=2ai，且ai顺时针旋转30°后与bi同向（i=1，2，3），则
A. -b1+b2+b3=0 B. b1-b2+b3=0
C. b1+b2-b3=0 D. b1+b2+b3=0
解：联想定理1，作ABC，其重心为G，a1= ，a2= ，a3= ，使ai旋转并使模伸长为原2倍，可得bi（i=1，2，3）.由b1= ，b2= ，b3= ，得A′B′C′，G也为A′B′C的重心，则b1+b2+b3=0，选D.
例4 ABC的外接圆的圆心为O，两条边上高的交点为H， =m（ + + ），则实数m= .
解：利用结论唯一时，特殊结论和一般结论等价，取ABC为直角三角形，直角顶点为A，垂心H与A重合，则在ABC中， + =0， = =m ？圯m=1.
例5 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共点的三点，动点P满足， = +λ（ + ），λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解：注意到 + 为ABC中∠BAC的平分线所在的直线，故选B.
例6 已知ABC的外接圆的直径是2，点O为其外心，且 + + =0， 求证：ABC是正三角形.
证明：O点满足 + + =0，则O点是ABC的重心，又O点是ABC的外心，所以ABC是正三角形.
例7 O为ABC所在平面内一点，满足 ・ = ・ = ・ .则O是ABC的（ ）
A.三条内角的角平分线的交点
B.三条边的中垂线交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
解：由定理2可知选D.
例8 P为ABC所在平面内一点， ・ = ・ = ・ ，则P是ABC的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解：由定理2可知选D.
例9 O为ABC所在平面内一点，且满足 + = + = + ，则O是ABC的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解：这是例2的一种等价形式，选D.
例10 点P为ABC的外心，且 =4， =2，则 ・（ - ）等于（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
解：如图6，设O为BC的中点，则 = + = （ + ） + ，则 ・（ - ）= （ - ）+ ・ = （ - ） =6， ・ =0，选C.
可见，向量增添，数学教学天地一片新.它足以使我们的思想变宽，思维活跃，给数学教育教学、数学研究带来勃勃生机.