马尔可夫定理和唯一性猜想100年

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本书从数论的观点论述与不定方程（称做Markov方程）x21+x22+x23=3x1x2x3有关的各种结果。这个方程的正整数解（x1，x2，x3）称做Markov数组，出现在Markov数组中的数称为Markov数。显然最小数组是（x1，x2，x3）=（1，1，1），然后就是数组（1，2，1）（不计它们的排列顺序）。由此出发按照一定规则可递推求出方程的其他正整数解，这些解按产生的先后顺序可以排成一个无限向下延伸的（倒立的）二元树（从解（1，5，2）开始每个数组产生2个分叉），称做Markov树。Markov定理给出Markov数集的基本性质（或结构）。Markov猜想（即唯一性猜想）是说：每个Markov数恰好一次作为某个Markov数组的最大数。上述这个定理是1879年Markov借助二次型的研究证明的，其后出现一些比较简单的证明；而Markov猜想则是Frobenius于1913年第一次在文献中引述的，至今已逾百年。这个猜想有多种变体（等价叙述形式），至今未被证明或否定。对它的研究与丢番图逼近论、数的几何（数论的两个分支）、群论和组合论等紧密相关，产生了不少有趣的结果和数学技巧。本书是截至目前出版物中的唯一一本关于这个主题的系统全面的论著，包括数学预备知识，重要结果的完整证明，有关史料和评论，以及完备的文献目录。

全书由10章组成，分为5部分，每部分含2章。第1部分：数，给出与下文有关的丢番图逼近论的结果，特别是连分数和Lagrange谱，以及与Markov定理和猜想有关的基本概念，还介绍了Markov的原始证明，是全书的基础。第2部分：树，研究Markov树和H.Cohn的有关结果。第3部分：群，讲述模群SL（2，）和自由群F2的基本性质，给出研究Markov定理和猜想的基本组合工具。第4部分：字码，包括Christoffel字码和Sturm字码，用组合的方法给出关于Markov数的经典的和新的结果。第5部分：结束，基于上述代数的和组合的工具，给出Markov定理的证明，大体上是按照E.Bombieri于2007年发表的一篇论文改写的，这是一个机巧而清晰的证明。进而深入地探讨了唯一性猜想的一些变体和解决途径，涉及数，矩阵，双曲几何和图的匹配等。

本书主要读者对象为大学数学系高年级学生，但实际上对于抱有不同兴趣的（特别是数论领域的）数学研究人员和研究生，都是有价值的专著。

朱尧辰，研究员

（中国科学院应用数学研究所）