基于APOS理论的函数单调性概念教学设计
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摘要]APOS理论是美国学者杜宾斯基（E.Dubinsky）提出的针对于数学概念学习过程研究的一种建构主义的学习理论.在对传统的函数概念教学进行反思的基础上，探讨运用APOS理论四阶段模式进行函数单调性概念教学设计，形成一个具有扎实理论基础的教学方案，为函数概念课堂教学提供一个极具操作性的范式.
[关键词]APOS理论函数单调性概念教学设计
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）140012
一、APOS理论简述
APOS理论是美国学者杜宾斯基等人针对数学概念学习过程研究的一种建构主义的学习理论[1]，他们认为，学生学习数学概念要经历四个阶段的心理建构：操作阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）和图式阶段（Scheme），取这四个阶段英文单词的首字母，定名为APOS理论[2].这种理论不但说明了学生的学习过程是建构的，而且表明了建构的各个层次.
操作阶段是让学生通过亲身操作去感受问题的直观背景和概念间的联系，是学生理解概念的重要条件;过程阶段是学生对操作活动进行思考、概括的过程.经历思维的内化，抽象出概念的性质特征;对象阶段是通过前面的抽象认识到了概念的本质，对其进行压缩并赋予形式化的定义及符号，使其成为思维中具体的对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动;图式阶段是通过长时间的学习进一步完善之后形成的，最初的图式包括特例、定义及符号、抽象过程，经过学习之后建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式[3].
APOS理论的概念学习四阶段，表明了数学概念从具体的操作行为到抽象的心理结构的过程，是概念在头脑中建构的一个连贯顺序，是循序渐进螺旋上升的.因此，中学数学函数概念的教学设计可以以此为基础，循序渐进，层层深入.下面以高中函数的第一个性质――单调性概念课为例进行教学设计.
（一）教学设计说明
函数的单调性是函数章节中重要的性质之一，也是学生学习的难点和重点.单调性定义比较枯燥、冗长、难懂，对于学生来说，是很费解的一个抽象概念.对于函数单调性，学生的认知困难主要有：（1）用数学的符号语言代替函数图像的上升与下降，这种由直观到抽象的转变过程对于学生来说是很难把握的;（2）此时函数单调性的证明需要用到单调性的定义，对定义的把握不到位直接导致学生对函数单调性的证明过程出现各种问题.
（二）函数单调性教学过程设计
1.操作阶段――创设问题情境，在活动中思考问题
活动操作：图1是深圳市某天24小时内的气温变化图.
图1
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考.
比如：（1）当天的最高温度、最低温度以及达到最高和最低温度分别是哪个时间？
（2）在某个时间的温度能看出来吗？
（3）在哪些时间段温度越来越高，在哪些时间段温度是越来越低？
[设计意图]通过这个气温变化图直观地体现函数的单调递增和单调递减的性质，温度越来越高对应着单调性定义里的y随着x增大而增大，温度越来越低对应着y随着x增大而减小.
2.过程阶段――体验探究函数单调性的过程
过程1：分别作出函数y=x+2，y=-x+2，y=x2，y=1x的图像，如图2、图3、图4、图5，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律？
[基金项目]
龙岗区教育均衡化、优质化、现代化发展行动研究科研项目资助课题.
在指导学生进行四个图像递增与递减的描述时，要特别强调是在某区间上面的，让学生理解到单调性是函
数的局部性质，不能脱离了区间单调性.
过程2：用自己的话来说一说什么叫做增函数、减函数.
[设计意图]这是通过观察四个函数的图像直观得到的单调性的印象，仅仅是一种描述性的认知.
过程3：由直观到抽象――用数学符号语言得出函数单调性定义.
怎么精确地认识到f（x）=x2在[0，∞）上为增函数？
（1） 在[0，∞）上取两个数，如2和3，因为2<3，所以f（x）=x2在[0，∞）上为增函数.
（2） 同（1），选取若干组具体数值进行验证，发现都满足条件，所以f（x）=x2在[0，∞）为增函数.
（3） 任意选取x1，x2∈[0，∞），且x1
此时发问：如何用精准的数学符号语言来定义函数的单调性？
师生共同探讨，得出增函数准确定义，减函数的定义可以同理得出.
[设计意图]必须强调清楚自变量在区间中选取的任意性，要让学生理解，有限的几组数值满足要求并不能说明该函数为单调函数.同时，可以细细品味数学符号语言的准确性.
3. 对象阶段――对函数单调性定义的进一步理解与巩固
对象1：请判断以下命题的真假.
（1）已知f（x）=1x，因为f（-1）
（2）若函数f（x）满足f（2）
，则函数f（x）在区间[2，3]上为增函数.
（3）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，8）上均为增函数，则函数f（x）在区间（1，8）上为增函数.
（4）因为函数f（x）=1x在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，所以f（x）=1x在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数.
[设计意图]以反例的形式深入理解函数单调性的定义域问题.
4. 图式阶段――通过实例构建综合心理图式
图式1：证明函数f（x）=x+2x在（2，+∞）上是增函数.
[设计意图]归纳出函数单调性证明题的五个步骤：设元、作差、变形、断号、定论.
图式2：除了用定义外，如果证得对任意的x1，x2∈（a，b），且x1≠x2有f（x2）-f（x1）x2-x1>0，能认为函数f（x）在区间（a，b）上是单调递增吗？
[设计意图]找出与单调性定义等价的命题，通过层层
诱导，进一步加深学生对单调性的理解，掌握单调性的本质.
图式3 ：知识回顾与总结.
我们一起来回味以下几个问题：
（1） 你能用数学语言符号准确说出函数单调性定义吗？
（2）本节课的教学过程中，我们用了哪些数学思想？
（3） 你能归纳出证明函数单调性的几个步骤吗？
[设计意图]以上三个问题与教学过程中的问题前后呼应，进一步巩固我们的教学成果，加深我们对单调性的理解.
（三）教后反思
通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，激发学生求知欲.在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成单调性的概念.
三、需要注意的问题
操作阶段：创设问题情境，让学生在活动中思考问题. 以感性材料为基础，以启发思考为目的，尤其注意问题是否适度、典型和有效.
过程阶段：运用问题链引导思维深入.学生在过程阶段进行抽象概括，教师用层级递进的问题，具有针对性地引导学生进行“对象”的升华，不断修正思维的方向.教师可以从“是什么” “怎么样”“为什么”这几方面进行提问，在教学概念时必须留出“过程”的时间给学生.
对象阶段：合理化概念表象，深入理解概念本质特征.学生在过程阶段会在心理上将自己的操作过程中获得的概念特征进行抽象化，形成心理表象.并且学生会随着认识加深修正原有的表象使之适用性更广泛.在教学中应帮助学生建立合理的心理表象，例如案例中利用变式、反例等引起学生认知上的冲突，从而主动对原有表象进行加工、调整，从而不断合理化.
图式阶段：通过丰富多样的操作活动进一步完善概念.用多样、多次新的“操作”促使学生对概念的认识从“对象”上升到“图式”层次，使概念的实质含义不断清晰化.可以举反例、作概念图表，用开放的、情境的问题等多种方式，帮助学生理解“对象”，使认识上升到图式阶段.
[参考文献]
[1]
曾国光.中学生函数概念认知发展研究[J].数学教育学报，2002（2）：99-102.
[2]徐立英，张丽娜. APOS理论对函数概念教学的启示和应用[J]. 高等教育研究， 2007（3）：73-74.
[3]濮安山，史宁中.从APOS理论看高中生对函数概念的理解[J].数学教育学报，2007（2）：48-50.
[4]史宁中.中学数学课程与教学中的函数及其思想――数学教育热点问题系列访谈录之三[J].课程・教材・教法， 2007（4）：36-40.