高考模拟题精选之数学解答题参考答案

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1． 解：（1） sin2A-sin2B-sin（A+B）?ｓｉｎ（A-B）=sin2A-sin2B-（sin2Aｃｏｓ2B-ｃｏｓ2Aｓｉｎ2B）＝sin2A-sin2B-［sin2A（1-sin2B）-（1-sin2A）sin2B］＝0.

（2） 2a2=c2+2b2，由正弦定理可得2sin2A-2sin2B=sin2C. C=π-（A+B）， 由（1）的结论可得2sin2A-2sin2B=2sin（A+B）?sin（A-B）=sin2C=sin2（A+B）， 2sin（A-B）=2sin（A+B）， 2sinAcosB-2cosAsinB=sinAcosB+ｃｏｓAｓｉｎB，即sinAcosB＝3cosAsinB， =3． 设tanB=t，则tanA=3t. A，B为ABC的内角且tanA，tanB同号， t>0. tan（A-B）＝＝≤，当ｔ＝时，tan（A-B）有最大值． 此时B=， A=，C=， ABC为直角三角形．

2． 解：（1） 由题意得2ｂｃｏｓA＝ａｃｏｓC+ｃｃｏｓA，由正弦定理得2sinBcosA=?sinAcosC+sinCcosA， 2sinBcosA=sin（A+C）＝ｓｉｎB. ｓｉｎB≠0， cosA=，A=.

（2） 选择①③：由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=4，又c=b，A=， b=2，c=2． S=bcsinA=．

选择①②：由正弦定理可得b=?sinB＝2，又sinC＝sin（A+B）＝sinAｃｏｓB+ｃｏｓAsinB＝， S=absinC=+1．

（选择②③，由正弦定理得sinC==>1，这样的三角形不存在．）

3． 解：（1） 由题意得B=60°，设A=60°-θ，C=60°+θ． 6sinAsinC=6sin（60°-θ）sin（60°+θ）=6×cos2θ-sin2θ=6×-sin2θ，1-cos2B=， 由6sinAsinC=1-cos2B可得sin2θ=， θ=±45°，三角形的三个内角为A=15°，B=60°，C=105°或A=105°，B=60°，C=15°．

（2） 6sinAsinC＝1-cos2B=2sin2B， 由正弦定理可得3ac=b2，由余弦定理可得cosB==-≥1-＝-， 0°

4． 解： （1） f（x）=cos2x-+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+（1+cos2x）=cos2x-sin2x+1=cos2x++1， f（x）的最大值为2． 当 f（x）=2时，cos2x+=1，2x+=2kπ （k∈Z）， x的集合为x|x=kπ-，k∈Z．

（2） 由（1）得 f（B+C）=cos2（B+C）++1＝，即cos2（π-A）+=，化简得cos2A-=． A∈（0，π）， 2A-∈-，. 当且仅当2A-=即A=时，cos2A-=成立． A=，b+c=2， 在ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-3?2＝1，当且仅当b=c=1时等号成立. a2≥1，a的最小值为1.

5． 解：（１） 由2ｎSｎ+1-2（ｎ+1）Sｎ＝ｎ2+ｎ得-=， 是公差为的等差数列，=S1+． S1=a1=1， Sn=． 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n；当n=1时，a1=1也符合该通项公式， an=n （n∈N*）．

当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=-=bn-1-bn， bn=bn-1. 由b1=T1=解得b1=. ｛ｂｎ｝是首项为、公比为的等比数列，ｂｎ=n+1．当n=1时，b1=也符合该通项公式. ｂｎ=n+1 （n∈N*）．

（２） cｎ=aｎｂｎ=n?n+1， Wn=2+2?3+3?4+…+n?n+1，又Wn=3+2?4+…+（n-1）?n+1+ｎ?n+2，两式相减得Wn=2+3+4+…+n+1-ｎ?n+2. Wn=+2+…+n-ｎ?n+1. +2+…+n=1-n

6． 解：（１） a1+a2+…+an-ｐan+1＝0， 当n≥2时，a1+a2+…+an-1-ｐan＝0，两式相减得=，代入p=可得=3， 数列｛ａｎ｝从第二项起是公比为3的等比数列． 当n=1时有a1-pa2=0，代入a1=a=1，p=，解得a2==2， an=1，n=1；2?3n-2，n≥2.

（２） ①由（1）得an+1＝an （n≥2），a2=， ak+1=k-1，ak+2=k，ak+3=?k+1．

若ak+1为等差中项，则2ak+1=ak+2+ak+3，整理得=1或=-2，解得p=-. 此时ak+1=

-3a?（-2）ｋ-1，ak+2=-3a（-2）ｋ， dk=ak+2-ak+1=9a?2k-1．

若ak+2为等差中项，则2ak+2=ak+1+ak+3，整理得=1，无解．

若ak+3为等差中项，则2ak+3=ak+1+ak+2，整理得=1或=-，解得p=-.此时ak+1=--k-1，ak+3=--k+1， dk=ak+3-ak+1=?k-1．

综上所述，当p=-时，dk=9a?2k-1；当p=-时， dk=?k-1．

②当p=-时，Sk=9a（2ｋ-1），由Sk＜30可得ａ＜． k∈N*， 0

当p=-时，Sk=1-k，由Sk＜30可得a， 当a=13时，Sk，此时Sk>30不合题意， 存在满足题意的a且a的最大值为13．