基于“问题串”的数学概念教学

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摘 要：在数学教学中，应该返璞归真，努力揭示数学概念的发展过程和本质，数学课程“要讲推理，更要讲道理”. 本文通过设置一系列“问题串”引导学生思考，探究其对高中数学概念教学的帮助和启示.

关键词：问题串；任意角；三角函数；定义域；符号

在教学工作中，笔者参加了学校组织的一次省公开课教学展示活动，在这次课堂教学活动中，以苏教版《数学》必修4第一章第一节1.2.1“任意角的三角函数”第一课时为课题上了一节基于“问题串”的数学概念生成课，既有值得肯定的地方也有自我感觉不足的地方. 本文笔者将概述本课的教学过程实录，并附以自己的一些教学随想，以期专家同行的不吝赐教.

[?] 教学过程实录

1. 创设情境，引入课题

教师：日出日落，寒来暑往……自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象，一个简单又基本的例子便是“圆周上一点的运动”. 你能举出生活中的一些例子吗？

学生：钟表，摩天轮，自行车的轮胎……

教师：很好！刚才这位同学讲到了摩天轮. 问题1：摩天轮上一点P在转动过程中，引起了角度α和弧长l的变化，你能说出α、r、 l之间的关系吗？

学生：l=αr.

教师：这里产生了一个角α，从初中角度看是什么角？

学生：锐角.

教师：初中学过锐角三角函数，是在什么图形中研究锐角三角函数的？

学生：直角三角形.

教师：问题2：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？

学生：……

教师：问题3：前面我们是如何来研究角的？

学生：通过建立直角坐标系的方法来研究角的.

教学随想：著名教育家杜威说过：“最好的一种教学，牢牢记住学校教材和实际经验二者相互联系的必要性，使学生养成一种态度，习惯于寻找这两方面的接触点和相互的关系”. 摩天轮是学生实际生活中接触到的东西，学生熟悉的问题情境可以激发学生浓厚的学习兴趣. 初中锐角三角函数是学生比较熟悉的数学内容，由浅导入，由熟知引入，慢慢引导学生顺理成章的接受新知识. 著名数学家华罗庚说过：“把一个比较复杂的问题“退”成最简单最原始的问题，把这最简单最原始的问题想通了，想透了，然后再来一个飞跃上升”. 这是一个十分精辟的思维方法，用这种方法解决问题，第一可以培养学生良好的心理素质，使之遇“新”不惧；第二可以使学生养成良好的解决问题的习惯.

2. 展开问题，探索新知

教师：因此我们也想到把上面这个图形放入直角坐标系里面来研究，在直角坐标系中，一个点对应着一个坐标. 问题4：你能根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，说出（r，α）与（x，y）之间的关系吗？（学生分组讨论）

学生：过点P做x轴的垂线，垂足为M，则OM=x，MP=y，记r=，则sinα=，cosα=，tanα=.

教师：非常好！这里x，y为点的横纵坐标，点P所在的射线可以看成角的终边，即锐角三角函数可以用锐角终边上点的坐标来表示.那么锐角终边上只有这一个点吗？

学生：有无数个.

教师：问题5：如果改变点P在终边上的位置，这三个比值会改变吗？（学生分组讨论思考）

学生：在角的终边上任意选取一点P′，作x轴的垂线，垂足为M′，则OMP∽OM′P′，

所以sinα==，cosα==，tanα==，即比值不变.

教师：非常好！用文字语言来概括就是锐角的三角函数值仅与锐角的大小有关，而与点在锐角的终边上的位置无关，并且满足sinα=，cosα=，tanα=，在这里借助于图形得到了比值的结论，也就是数的结论，体现了数形结合的数学思想.

教师：角的终边只有这一种可能吗？

学生：也可能在其他象限或坐标轴上.

教师：问题4：在平面直角坐标系中，我们已经将角由锐角推广到了任意角，那么锐角的三角函数能不能推广到任意角的三角函数呢？（学生思考，分组讨论，感觉问题难以回答）

教学随想：美国著名心理学家奥斯贝尔曾经说过：“如果不得不将教育心理还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生现有的知识状况去进行教学.” 遵循从“学生已经知道了什么”与“学生原有经验”出发进行教学，符合皮亚杰的“认识即是一种以主体已有的知识和经验为基础的主动的建构活动”的观点. 上述设计先让学生回顾初中所学内容，进而放到直角坐标系中去考虑，学生自然会想到作一条高，构造一个直角三角形，体现了化陌生为熟悉的化归思想和数形结合的数学思想.

3. 归纳提升，形成定义

教师：可能这个问题有些难度，为了回答这个问题，我们课本给出了任意角三角函数的定义，这就是我们今天要学习的第一个内容：任意角的三角函数的定义：

一般地，对任意角α，我们规定：

①比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=；

②比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=；

③比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα=. （学生一起来朗读定义）

教师：大家读得很整齐，声音也很洪亮！任意角的三角函数是课本规定好的定义，但是在学习的时候，要有大胆的怀疑精神，这个定义合情合理吗？（学生分组讨论交流）

教师：锐角的三角函数满足这个定义吗？

学生：满足. 只是定义的一种特殊情况.

教师：这里由锐角的三角函数推广到了任意角的三角函数，体现了什么数学思想呢？

学生：特殊到一般的化归思想.

教师：也就是说与我们原有的知识没有产生矛盾，这个定义的发展合乎数学发展的一般规律，具有合理性. 再来看这个定义，自变量是谁？

学生：角度α.

教师：非常好！我们已经将角度与实数之间通过弧度制建立了一一对应关系，再来看函数值，是一个什么呢？

学生：比值.

教师：比值是一个数. 给你一个角度，根据我们刚才的分析，会对应着几个比值呢？

学生：一个.

教师：给定一个角度对应着唯一的比值，大家想起了前面学习的什么定义呢？

学生：函数的定义.

教师：函数的定义是对两个什么而言的？

学生：非空数集.

教师：这里也是两个非空数集，并且也满足对任意的自变量α，都有唯一的比值与之对应，因此，我们可以称它为函数，只不过这里我们再给它起一个规范的名字：三角函数.

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以终边上点的坐标的比值为函数值的函数.以上三种函数都称为三角函数.对于定义，给出三点说明：

（1）sinα，cosα，tanα分别叫角α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为三角函数；

（2）正弦函数、余弦函数、正切函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数；

（3）sinα不是sin与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的sin，cos，tan等是没有意义的.

教学随想：在定义集体诵读时，使每位学生都亲身体会教学重点的内容精髓. 学生参与定义，不仅符合学生的口味，而且记忆深刻，还能享受发现的乐趣，有益于培养学生的创新思维. 其实，教材中有不少概念，可以让学生参与到定义建构的过程中，激发学生主动发现、提出问题，进而让学生“乐学”. 由锐角的三角函数到任意角的三角函数，体现了特殊到一般的化归思想，符合由特殊到一般、由直观到抽象的认知规律.

4. 应用新知，解决问题

例1 已知角α的终边经过点P（2，-3），求α的正弦、余弦、正切值.

教师：在这里给出点的坐标后，先写x，y的值，再求r的值，然后根据任意角三角函数的定义，采用定义法来求解. 我们再来看这里正弦是负的，余弦是正的，正切是负的，思考1：根据任意角三角函数的定义，如果不求值，能不能判断角的正弦、余弦和正切的符号呢？

学生：正弦函数值的符号与y的符号相同；余弦函数的符号与x的符号相同.

教师：非常棒！这就是我们今天学习的第二个内容：三角函数值在各象限的符号，我们再来分别看一下，第一象限全是正的，第二象限只有正弦是正的，第三象限只有正切是正的，第四象限只有余弦是正的，那么可以用一个口诀来概括：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

思考2：若将点P的坐标改为（0，-4）呢？（学生分组讨论交流，教师对学生作品进行展示）

教师：是不是对任意角，它的正切都存在呢？

学生：不是！

教师：什么时候不存在？

学生：x=0时不存在.

教师：x=0时，点在哪里？

学生：y轴上.

教师：y轴上角的集合是什么呢？

学生：

α

α≠+kπ，k∈Z

.

教师：正弦，余弦都存在吗？

学生：都存在.

教师：这就是本节课学习的第三个内容：三角函数的定义域：y=sinα的定义域是R；y=cosα的定义域是R；y=tanα的定义域是

α

α≠+kπ，k∈Z

.

教学随想：三角函数的符号和定义域让学生通过问题自己去归纳总结，打破了传统意义上教师灌输的教学方式. 问题串的设计可以让更多的学生主动参与，适度的研讨可以促进生生交流以及培养团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯，让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的增长和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础.

[?] 教学反思

“任意角的三角函数”第一节《标准》对其学习要求是： 掌握任意角三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各个三角函数值；熟记三角函数的定义域；理解并掌握三角函数在各象限的符号. 本文基于“问题串”做教学设计，有以下一些方面值得反思：

1. 以生为本，对教材认真研读

德国教育家第斯多惠说过：教学必须符合人的天性及其发展的规律. 这是任何教学的首要的、最高的规律. 只教给学生最本质的、最主要的东西，才能切切实实地掌握这种教材，使它不可磨灭地铭记在学生的记忆里. 本文以教材为根本，以学生已有的生活经验和已有知识为背景进行导入学习，符合学生的认知发展规律.

2. 教无巨细，从学生角度理解问题

锐角的三角函数能不能推广到任意角的三角函数？是学生难以回答的一个问题，课本以规定的形式给出了定义，定义的合理性是本节课的一个讲解重点，让学生明白推广到任意角是有根据的，是符合事物发展规律的：即没有违反原有的法则，同时它也真真切切的是函数.既然是函数，就自然而然地想到函数的定义域等问题，因此本节课接下来讲解的内容就顺理成章了. 学源于思，思源于疑.小疑则小进，大疑则大进. 虽然课本是以定义形式给出的，但是我们还是要引导学生要有大胆怀疑的精神，树立良好的数学学习观.

3. 多媒体的使用，使学生容易直观形象的认识问题

德国著名教育家黑格尔说过：错误本身是“达到真理的一个必然环节”，“由于错误，真理才会发现”. 在多媒体展示的使用中，笔者不是一味的展示对的好的，而是对错展示形成对比，让学生强化对错误的认识.

心理学家罗杰斯指出：“在学习过程中获得的不仅是知识，更重要的是获得如何进行学习的方法或经验.” 为此，作为教师应该遵循学生的已有认知基础，从实际生活出发，以“问题串”引导学生参与知识的生成、发展和形成的过程，促使学生在获得对数学理解的同时，逐步学会学习和思考.