中考双动点问题的探索
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动态问题一般有两类：一类是动点问题，另一类是动图问题，而双动点问题一直是中考中的热点，考查的比较多，有很强的综合性,涉及的知识多。现就典型问题分析解答，供大家参考。
一、 以三角形为背景命题，探索问题
例 （08年山东青岛中考压轴题）：已知，如图（1），在RtABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm／s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm／s；连结PQ.若设运动时间为t(s)(0
（1） 当t为何值时，PQ∥BC?
（2） 设AQP的面积为y与t之间的函数关系式；
（3） 是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由;
(4) 如图②，连结PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由。
解答：(1) 在RtABC中,AB=BC2+AC2=5
由题意知:AP=5-t,AQ=2t,
若PQ∥BC,则APQ∽ABC.
AQAC=APAB， 2t4=5-t5, t=107.
(2) 过点P作PHAC于H.如图（1）
图（1）
APH∽ABC,
PHBC=APAB,
PH3=5-t5,
PH=3-35t,
y=12×AQ・PH=12×2t×3-35t
=-35t2+3t.
(3) 若PQ把ABC周长平分,
则AP+AQ=BP+BC+CQ.
(5-t)+2t=t+3+(4-2t), 解得: t=1.
若PQ把ABC面积平分,则SABQ=12SABC,即-35t2+3t=3.
t=1代入上面方程不成立,
不存在这一时刻t,使线段PQ把RtACB的周长和面积同时平分.
(4) 过点P作PMAC于M,PNBC于N,如图（2）
图（2）
若四边形PQP′C是菱形,那么PQ=PC.
PMAC于M, QM=CM
PNBC于N,易知PBN∽ABC,
PNAC=BPAB, PN4=t5, PN=4t5,
QM=CM=45t
45t+45t+2t=4,
解得: t=109.
当t=109时,四边形PQP′C是菱形
此时PM=3-35t=73.
CM=45t=89,在RtPMC中,PC=PM2+CM2=499+6481=5059,
菱形PQP′C边长为5059.
说明:本题是以一道三角形为背景的动态几何压轴题,考查了一次方程和相似三角形等知识,“动中求解”，通过符合条件的示意图，从而将动态的问题转化为静态的几何问题，运用相似的有关知识解决问题。
二、 以圆为背景命题，探索问题
例 （08南京市中考题）：如图（1），已知O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与O相切于点Q，A、B两点同时从点P出发，点A以5cm／s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm／s的速度沿射线PN方向运动，设运动时间为ts.
(1) 求PQ的长；（2）当t为何值时，直线AB与O相切。
图（1）
解答：（1）连结OQ.
PN与O相切于点Q.
OQPN，即∠PQP=90°
OP=10，OQ=6
PQ=102-62=8(cm)
（2） 过点O作OCAB，垂足为C.
图（2）
点A的运动速度为5cm／s，点B的运动速度为4cm／s，运动时间为ts.
PA=5t,PB=4t
PO=10,PQ=8
PAPO=PBPQ.
∠P=∠P.
PAB∽POQ,
∠PBA=∠POQ=90°
四边形OCBQ为矩形.
BQ=OC
O的半径为6
BQ=OC=6时，直线AB与O相切，
当AB运动到如答图（1）的位置.
BQ=PQ-PB=8-4t.
由BQ=6,得8－4t=6.
解得: t=0.5(s)
② 当AB运动到如图（3）所示的位置，BQ=PB-PQ=4t-8，
图（3）
由BQ=6，得4t-8=6. 解得t=3.5(s).
所以,当t为0.5s或3.5s时直线AB与O相切.
说明：本题是一道以圆为背景的综合题，考查了勾股定理，相似三角形，一次方程等知识，第（2）问题抓住相切的两种特殊位置解决问题，分类思想在此题中较好的体现。
三、 以坐标系、一次函数为背景命题，探索问题
例 （08河南省中考压轴题）：如图（1）直线y= ＋4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）.
图（1）
（1） 试说明ABC是等腰三角形；
（2） 动点M从点A出发沿轴向B点运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动.设点M运动t秒时，MON的面积S.
① 求S与t的函数关系式；
② 当点M在OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在，说明理由；
③ 在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值.
解答：（1） 将y=0代入y=-43x+4，得x=3，
点B的坐标为（3，0）；
将x=0代入y=-43x+4，得y=4， 点C的坐标为（0，4），
在RtOBC中， OC=4，OB=3， BC=5.
又A（-2，0）， AB=5， AB=BC， ABC是等腰三角形.
（2） AB=BC=5，故点M、N同时开始运动，同时停止运动.
过点N作NDx轴于D，则ND=BN・sin∠OBC=45t.
① 当0＜t≤2时（如图（2）），OM=2-t.
图（2）
S=12OM・ND=12(2-t)45t=-25t2+45t.
当2＜t≤5时(如图(3)),
图（3）
OM=t-2,
S=12OM・ND=12(t-2)45t=25t2-45t.
② 存在S=4的情形.
当S=4时,25t2-45t=4
解得t1=1+11,t2=1-11(不合题意,舍去)
t=1+11
③ 当MNx轴时,MON为直角三角形.
MB=BN・cos∠MBN=35t,又MB=5-t.
35t=5-t, t=258
当点M、N分别运动到点B、C时，MON为直角三角形，t=5.
故MON为直角三角形时，t=
258秒或t=5秒.
说明：本题以平面直角坐标系，三角形为背景的压轴题，主要考查了一次函数与坐标轴交点知识，等腰三角形判定性质，一元二次方程解法，三角函数及三角形面积对应的函数关系式。第②问题是一个存在性问题的探究，要求学生通过具体的计算，根据t的取值范围验证后，否定不存在的问题，单用猜想解决不了问题，考查了学生的数形结合、分类讨论、问题转化、函数等数学思想和方法，同时有效考查了学生的逻辑思维能力和综合分析问题解决问题的能力。
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