基于变构模型的大学数学教学研究

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摘要：本文研究了基于变构模型的大学数学教学问题。分析了目前大学数学教学中存在的关键问题，以及学生学学数学的效果和实际情况。研讨了两个变构模型教学案例，提出了大学数学的变构模型教学策略。

关键词：大学数学;变构模型;教学策略

1 引言

变构模型[1]概括地说就是：学生的学习是利用其先拥概念提供的知识储备、思维模式和评判体系，并借助于这一知识和思维的多维框架，在适当的学习境脉中对所面对情景进行阐释，对不同信息进行研究和解码，然后对其进行重塑的过程。这是一个解构和重新建构的过程，通常这两个过程是并行的，是协同进行的。这一过程中学生的概念网格和心智结构都会改变，新知识和新行为模式也就建立起来了。变构模型是符合人们的认知规律的科学有效的一种好模型，目前它的应用尚不广泛，还未引起广大教育工作者的高度关注，这方面还有一些空白有待填补，还有许多工作要做。目前有关大学数学教育与教学的相关研究已涌现出许多优秀的成果[2-5]，文献[6]研究了基于校本的教学模式问题，提出了基本程序为：总结归纳、比照反思、完善设计、实践检验、理论升华的基于校本的教学模式和相关策略。文献[7]探讨了大学数学教学的效率策略问题。然而基于变构模型的大学数学教学的研究尚未见到，本文将在这方面进行一些有益地探讨。

2 大学数学教学中存在的关键问题

学生在知识获取和学习科学推理方法的过程中，新元素很少会直接溶入到先拥知识的框架中去，相反，先拥知识在认知与心理层面反倒会构成许多障碍。学生不会轻易放弃他原有的概念、观点和方法，新知识只有在已掌握知识无能为力时才会被接受。

目前流行的大学数学教学模式是：教师依据教材和一些相应的实际背景介绍事实，并予以解释和证明，然后再通过例题介绍一些处理问题的技巧和具体方法。这其中的关键问题是教师在处理新知识溶入到先拥知识框架的过程中，没有打破学生原有的知识框架、并进行重新建构和炼制，因此可以说现行的大学数学教学模式是不符合人们的认知规律的。学生通过听课和练习，可以初步掌握所学内容，但这种“掌握”往往并不牢固，对所学知识的理解也不深刻，很大程度上是记住了一些事实、技巧和解题方法。学生的能力得不到很好的发展，综合素质也难以提高。

3 基于变构模型的教学探讨

在大学数学教学的教学过程中，首先根据实际背景导入新问题，激发学生的探索兴趣，分析现有知识功能和适用范围的局限，指明要解决的问题，打破原有知识框架，进行解构分析，通过合理推理并运用科学的认知方法反复炼制形成新知识框架。

以高等数学中的第一类曲线积分为例，教学中我们一般都是从平面曲线形构件的质量入手来引入第一类曲线积分的。首先应引导学生分析曲线形构件的质量问题能否直接用一元函数的定积分来解决，这当然是困难的，因为这里涉及到的构件的线密度是二元函数。这个事例说明一元函数的定积分不是万能的，不可能解决所有问题，这就需要引进一种新的工具来解决上述问题。这时应该通过激发学生去发现问题，通过提问、质疑和讨论等一些列手段让学生认识到先拥的关于定积分知识的局限，他才会主动去解构，他才愿意甚至渴望获取新知识，才不至使先拥知识成为新元素纳入的障碍。然后，建立新旧事物之间的联系，和定积分问题类似，由于某种因素变化过于剧烈，故而难以使用初等方法处理问题，这种情况下便可以应用化整为零、局部近似并积零为整的方法来解决问题。通过具体地分析、联想、推导并利用元认知等方法最终建立第一类曲线积分的概念。

类似地，解决第一类曲线积分的计算问题时，我们注意到它与定积分所运用的思想方法是一致的，这就有可能将第一类曲线积分的计算问题转化为定积分的计算。具体地如何转化呐？这要解决两方面的问题：一方面是被积函数的转化，另一方面是弧微分的转化问题。第一类曲线积分定义中非常关键的一句话是：为第个小弧段上任意取定的一点，就是说点在曲线上，那么它的坐标当然应该满足曲线的方程。对于函数，因为点在曲线上，那么与便不是独立的，如果和用曲线的参数方程形式表示，并代入则得到一个一元函数。设曲线的参数方程为

（1）

设点对应的参数值为，即，，那么，函数在点处的函数值实际变成了一元函数在处的函数值。然后，再利用弧长公式和函数一致连续的相关知识容易得到：

。（2）

公式（2）的右端实际上是一元函数在处的函数值与自变量的改变量的乘积和式的极限，而这种极限是一个一元函数的定积分问题。这样自然就得到公式：

。 （3）

公式（3）就是一个重新建构的结果。

再譬如学生普遍感觉傅里叶级数不好学，其主要原因是学生关于数值级数和泰勒级数的先拥知识妨碍了他们对新知识的学习。教学中如果不能顺利地帮助学生解构和重新建构新的知识体系，教学效果便不会很好。

在学习傅里叶级数之前。学生关于级数问题的知识框架是：利用诸如达朗贝尔判别法、柯西判别法等一系列方法判断级数的敛散性;利用部分和或借助于求导与积分等等方法求级数的和;利用逐项求导方法探究泰勒级数的系数问题等等。而解决傅里叶级数的相关问题却有很大不同，因此，在学习傅里叶级数时应特别强调一定要摆脱一些先拥知识的框架束缚，要善于尝试一些新的方法来解决问题。譬如研究傅里叶级数的敛散性问题，应与数值级数和泰勒级数进行对比学习，用联系和发展的观点看问题。关于后者我们有一系列判别其敛散性的方法，而傅里叶级数针对的是一类特殊的函数：周期函数，我们有一个一劳永逸的结论，就是狄利克雷收敛定理。那么，判定傅里叶级数的收敛问题就转换成了狄利克雷条件的检验问题，如果函数满足狄利克雷条件，那么其傅里叶级数就收敛。而讨论傅里叶级数的和则转化成了讨论相应周期函数的连续性问题，若函数在某点连续，则其傅里叶级数就收敛于函数在这一点处的函数值;若函数在某点间断，则其傅里叶级数就收敛于函数在这一点处左右极限的算术平均值。学习傅里叶级数的另外一个重要问题就是讨论傅里叶级数的系数，在探讨泰勒级数的系数时，我们可以通过逐项求导的方法来研究泰勒级数的系数的结构，对于傅里叶级数，也是由于其系数有无数多个，不可能用初等代数方法求得，用逐项求导法也不行，这种情况下我们只能探讨新的方法。假设函数是以为周期的实值周期函数，且可以展成三角级数：

（4）

其中，进一步假设上述级数（4）可以逐项积分。考虑到正余弦函数的性质，如果就级数（4）从到逐项积分便可得到的表达式：。要求，只需要在（4）式两端同乘以，然后再从到逐项积分即可;类似地，在（4）式两端同乘以并从到逐项积分就可得到系数的表达式。也可以说在探讨傅里叶级数的系数问题时，我们运用了与处理泰勒级数的相关问题的截然相反的方法。

实践证明，把变构模型有机地引入到大学数学的教学过程中去，效果还是很好的。

4 大学数学变构模型教学策略

在大学数学教学的教学过程中，面对新问题，首先分析先拥知识框架的局限性。当学生认识到先拥知识对新问题的解决无能为力时，他们自然就会产生求知的渴望;其次，研究先拥知识与相关新知识的关联问题，彻底弄清两者之间的关系;最后针对不同的问题，采用科学的方法，逐步建立新的知识框架，最终解决问题。具体说来，基于变构模型的大学数学教学策略要注意以下问题，激发学生的探索兴趣;调用先拥知识和思维方式;扬弃旧框架;发现问题、界定问题;运用联系的观点和多维度联想方式探索事物的规律;进行合理地推理;解决问题，构建新的知识框架;应用概念并利用元认知等工具反复炼制、巩固提高，最终形成科学牢固的知识框架。

5 结束语

在大学数学教学过程中如果能够合理地应用变构模型，都会取得意想不到的效果。应用变构模型进行教学不仅能够促进学生对知识的深刻理解与掌握，还能够帮助学生构建良好的认知结构，发展他们的可持续发展的数学学习能力。至于如何构建新的知识框架，没有最优方案，只有更优方案，可以说这是一个永恒的研究课题。

参考文献：

[1]裴新宁，杭零 译.变构模型-学习研究的新路径[M].北京：教育科学出版社，2010.

[2]黄秦安，曹一鸣.数学教育原理―哲学、文化与社会的视角[M].北京：北京师范大学出版社，2010.

[3]邱东，鲜思东.大学数学教学与科研关系探讨[J].教育教学论坛，2015（23）：136-137.

[4]杜红珍.大学数学有效教学的策略探究―对大学数学教学改革的全方位思考[J].大学教育，2013（22）：54-57.

[5]李建平，赵侠，易东云.大学数学教学创新研究[J].高等教育研究学报，2011（S1）：4-7.

[6]曹一鸣.基于校本的教学模式研究策略[J].教育科学研究，2005（5）：40-42.

[7]李明哲.试论大学数学教学的效率策略[J].黑龙江高教研究，2012（2）：154-156.