近世代数教学中创新能力的培养

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【摘要】 近世代数是现代数学的基础，是高等代数课程的继续和发展.近世代数同拓扑学、实变函数与泛函分析构成现代数学的三大基石，是进入数学王国的必由之路，是数学专业学生必修的重要基础课.近世代数课程通过对学生抽象思维、逻辑思维及运算能力的培养，使学生掌握基本的代数方法.本文阐述了近世代数教学中开展研究性学习的几点思考，以培养学生的创造性思维，提高学生自主学习和终身学习的能力.

【关键词】 近世代数；创新能力； 创造性思维

【中图分类号】 G420

学生在学习近世代数中，感受最深的就是抽象，这就要求教师在教授学生本课程的知识系统时注重与具体应用的结合，还应进一步发挥近世代数这门课程训练思维的独特优势，积极开展研究性学习，培养学生的创造性思维，逐步提高学生自主学习和终身学习的能力.

一、加强课程内容的应用性

近世代数的生命力在于其深刻的理论和广泛的应用.作为一本理科的教材，如果从教学目的来看，重点强调它的理论性是必要的，只有学习并深刻领会一门学科的思想方法才是提高能力的根本之路.但是，当前最薄弱之处却是根本不讲应用.在讲授一些比较抽象的纯数学课如“近世代数”时，经常会有学生问：“近世代数有什么用？”有时候教师也回答不清，不免使学生感到失望，大大打击了学生的学习兴趣.随着现代科技的不断进步，特别是电子计算机的飞速发展与推广，近世代数的基本思想、基本理论与方法已经渗透到科学领域的各个方面与实际应用的各个部门.事实上，20 世纪初群论已经应用于理论物理和分子化学，而到20 世纪中叶，理想理论和域论在计算理论、编码、信息安全等领域更是大显身手.在课本内容中适当地介绍近世代数的应用，一方面可让学生看到该理论的巨大应用价值，另一方面也可大大调动学生的学习兴趣.

二、要注重与其他课程内容的联系

对于近世代数中大多数的概念、定理，教师应尽量从具体的例子或它们的重要作用来引入，使学生容易把握和理解，并能较快掌握学习近世代数的方法，更好地开展研究性学习.比如，群和环的概念，实际上都是满足一定运算规律的代数系统，正如数系满足它们的运算规律一样，因此从数系引入群、环的概念是比较自然的.又比如，在引进正规子群、理想等概念时，教师从它们的作用出发，向学生介绍为了构造一类新的群或环，子群和子环必须满足什么条件，由此导出正规子群和理想的概念.我们知道，如果两群同构，那么只要将其中一个群研究清楚了，另一个与它同构的群也清楚了.因此，同构在近世代数中是一个很重要的概念.其实许多同构映射就是依赖于初等数学中有关知识建立的.比如，实数加群与正实数乘法群同构，利用指数函数建立了从实数到正实数的映射，指数的运算法则“ 同底幂相乘指数相加” 使这个双射成为同构双射.这样使得学生在学习时，既熟悉了这种数学研究的思路，又较轻松地接受了新的数学知识.另外，教师还应加强近世代数和高等代数的联系，充分利用学生已有的代数知识，去建构近世代数中的概念和性质.比如，教师在讲环论的时候，用矩阵的一些性质去引入和说明环中元素的各种性质（如单位元、交换性、零因子、可逆性等等），会收到较好的效果.

三、教学中要培养学生的创新能力

近世代数这门学科具有高度抽象、起点高、难度大的特点，由于无论是概念还是性质及其论证过程都较为抽象，对于初学者来说往往难以理解和掌握，更谈不上有主动性思考了，因此教师在教学中更需要注重加强创新思维的引导.

1.鼓励学生敢于对已有的论断和结果大胆地提出疑问并进行合理的猜测.比如，很多命题的结论与条件并不等价，从数学命题的完美性来说，可以向学生提出：能否将命题提升为一个“充分且必要”的命题？命题的逆命题是什么？是否成立？如果不成立，能否举一个合适的反例？尽管学生不一定能作出令人满意的答案，但起到了引导学生进行积极而有意义的思维活动是毋庸置疑的.

2.培养学生具有追根究底的勇气和毅力.对于某些感兴趣的问题，经过大量的推导、计算、验证，终于得到了满意的结果，对心中的疑问和猜测作出正确解决的思想并付诸于行动，坚忍不拔，决不半途而废，最终达到成功的彼岸.这种不屈不挠的精神是取得成功的必要品质.

3.培养学生的开拓性思维和深入研究问题的能力.对一个问题，甚至是一个看起来非常明显而简单的问题，做到从不同角度加以分析和广泛联想，能起到开拓思维和培养严密的思维方式和思维能力的重要作用.鼓励学生对问题进行深层次的探索性研究和激发学生的创新欲望，有利于学生掌握科学的思维方法和提高数学的研究能力.

在近世代数教学中开展研究性学习，使学生获得探求知识的主动权，让他们进入研究探索问题的全过程，从而使学生处于主动探索的精神状态，加之学生创造性思维能力的培养和提高，对其将来从事数学教学工作或其他工作都将终身受益.

总之，不论是在近世代数还是其他学科中，我们均应注重对学生创造性思维能力的培养，只要我们注意教学改革，切实在学生的创造性思维能力提高上面作出一定的奉献，这将对学生走向社会，不论从事什么工作，均有很好的推动作用.

【参考文献】

[1] 段继杨.创造性教学通论[M] .吉林：吉林人民出版社，1999.

[2] 任樟辉.数学思维论[M] .吉林：吉林人民出版社，1996.

[3] 韩士安，林磊.近世代数[M] .北京：科学出版社，2004.