浅谈函数与方程思想在解题中的应用

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数学解题，要善于运用最基本的数学思想与方法，比如：函数与方程思想，它的运用能帮助我们用运动和变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，让我们解题更容易找到突破口.那么，函数与方程思想主要能解决哪些基本问题呢？

一、最值或参数的范围

例1长度都为2的向量OA，OB的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧AB〖TX（〗（劣弧）上，OC=mOA+nOB，则m+n的取值范围是.

思维流程：

〖XCDP1.TIF〗

解析：建立平面直角坐标系，设向量OA=（2，0），向量OB=（1，〖KF（〗3〖KF）〗）.设向量OC=（2cosα，2sinα），0≤α≤〖SX（〗π3.

由OC=mOA+nOB，得（2cosα，2sinα）=（2m+n，〖KF（〗3〖KF）〗n），

即2cosα=2m+n，2sinα=〖KF（〗3〖KF）〗n，

解得m=cosα-〖SX（〗1〖KF（〗3〖KF）〗sinα，n=〖SX（〗2〖KF（〗3〖KF）〗sinα.

故m+n=cosα+〖SX（〗1〖KF（〗3〖KF）〗sinα=〖SX（〗2〖KF（〗3〖KF）〗3sin（α+〖SX（〗π3）∈[1，〖SX（〗2〖KF（〗3〖KF）〗3].

评注：求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域.

二、图象交点或方程根的问题

例2设函数f（x）=〖SX（〗1x，g（x）=-x2+bx，若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（填序号）.

（1）x1+x2>0，y1+y2>0

（2）x1+x2>0，y1+y2

（3）x1+x20

（4）x1+x2

思维流程：

〖XCDP2.TIF〗

解析：由于函数y=f（x）的图象在一、三象限且关于坐标原点对称，函数y=g（x）的图象过坐标原点，结合函数图象可知点A，B一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x1x2

问题即为方程-x2+bx=〖SX（〗1x仅有两个不同的实根，即方程x3-bx2+1=0有一个二重根、一个单根.根据方程根的理论，如果x1是方程x3-bx2+1=0的二重根，x2为一个单根，则x3-bx2+1=（x-x1）2（x-x2）=x3-（2x1+x2）x2+（x21+2x1x2）x-x21x2，这个等式对任意x恒成立，比较等式两端x的系数可得-x21x2=1，则x20，所以x1+x2>0，y1+y2

评注：函数图象的交点问题转化为方程根的问题是重要的方程思想，同时方程根的判断问题转化为函数的零点问题也是重要的函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用.

三、不等式恒成立问题

例3已知函数f（x）=lnx-〖SX（〗14x+〖SX（〗34x-1，g（x）=-x2+2bx-4，若对任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数b的取值范围.

思维流程：

四、与数列最值有关的问题

例4若数列{an}的通项公式为an=〖SX（〗83×（〖SX（〗18）n-3×（〖SX（〗14）n+（〖SX（〗12）n，（其中n∈〖WTHZ〗N〖WTBX〗*），且该数列中最大的项为am，则m=.

思维流程：

〖XCDP4.TIF〗

解析：令x=（〖SX（〗12）n，则0

令f′（x）=0，解得x1=〖SX（〗14，x2=〖SX（〗12，所以f（x）在（0，〖SX（〗14]上为增函数，在（〖SX（〗14，〖SX（〗12]上为减函数.

所以f（x）max=f（〖SX（〗14），即当x=〖SX（〗14时，f（x）最大.所以当n=2时，an取得最大值，即m=2.

评注：数列问题函数（方程）化法与形式结构函数（方程）化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，这类问题主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.

五、解析几何中的参数问题

例5椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为〖KF（〗2〖KF）〗，离心率为〖SX（〗〖KF（〗2〖KF）〗2，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且AP=3PB.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求m的取值范围.

思维流程：

〖XCDP5.TIF〗

解析：（1）设椭圆C的方程为〖SX（〗y2a2+〖SX（〗x2b2=1（a>b>0），设c>0，c2=a2-b2，

由题意，知2b=〖KF（〗2〖KF）〗，〖SX（〗ca=〖SX（〗〖KF（〗2〖KF）〗2，所以a=1，b=c=〖SX（〗〖KF（〗2〖KF）〗2.

故椭圆C的方程为y2+〖SX（〗x2〖SX（〗12=1，即y2+2x2=1.

（2）设直线l的方程y=kx+m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），

由〖JB（{〗y=kx+m，2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，

Δ=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）>0，（*）

x1+x2=〖SX（〗-2kmk2+2，x1x2=〖SX（〗m2-1k2+2.

因为AP=3PB，所以-x1=3x2，

所以〖JB（{〗x1+x2=-2x2，x1x2=-3x22.则3（x1+x2）2+4x1x2=0，即3・（〖SX（〗-2kmk2+2）2+4・〖SX（〗m2-1k2+2=0，

整理得4k2m2+2m2-k2-2=0，即k2（4m2-1）+（2m2-2）=0，

当m2=〖SX（〗14时，上式不成立；当m2≠〖SX（〗14时，k2=〖SX（〗2-2m24m2-1，

由（*）式，得k2>2m2-2，又k≠0，又k2=〖SX（〗2-2m24m2-1>0，故〖SX（〗2-2m24m2-1>2m2-2，解得-1

即所求m的取值范围为（-1，-〖SX（〗12）∪（〖SX（〗12，1）.

评注：利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤：第一步：联立方程；第二步：求解判别式Δ；第三步：代换，利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换；第四步：下结论.将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围.