系统讲解函数极限的求法

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇系统讲解函数极限的求法范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

【摘要】 高职高专高等应用数学所有使用的教材中，均没有对函数极限的求法进行过系统的归纳和总结.笔者根据个人教学经验，就高职高专层次如何求函数极限的问题进行了简要梳理，系统提出了利用函数的连续性求极限、利用两个基本极限公式求极限、利用Hospital法则求极限这三种求函数极限的方法.

【关键词】 高职高专；高等应用数学；函数极限；教学方法

高职高专开设的高等应用数学核心内容是微积分基础，而极限的概念与运算是微积分基础的基础，连续、导数等概念都是在函数极限的定义上完成的.在高职高专所有使用的教材中，均没有对函数极限的求法进行过系统的归纳和总结.笔者根据个人教学经验，教学中就高职高专层次如何求函数极限的问题进行了简要梳理，系统提出如下三种方法.

一、利用函数的连续性求极限

由函数连续的性质可知，若函数y=f（x）在其定义域D内连续，则对于任意一点x0∈D，都有函数在x0处的极限值等于其函数值，即 lim xx0 f（x）=f（x0）.教材中不加证明地指出，所有初等函数在其定义域内都是连续的.实际上这就等于告诉我们，要求初等函数在其定义域内任意一点的极限时，只要求这一点的函数值即可.

例如，求lim x2 （3x-5）.

只要教会学生：① y=3x-5是一个初等函数（说明为什么是初等函数）；② y=3x-5的定义域是全体实数集R且2∈ R ；③ y=3x-5在x=2处是连续的.于是，直接将x=2代入3x-5中，得：lim x2 （3x-5）=3×2-5=1.

二、利用两个基本极限公式求极限

教材中不经推导地给出了两个基本极限公式：（1）lim x0 sinx x =1；（2）lim x∞ 1+ 1 x x=e.教学中，如何记住这两个基本公式的特点并用好这两个基本公式是教学的关键.

（1）lim x0 sinx x =1，此公式有两个特点：

公式特点一：自变量的变化趋势是“x0”而不是其他.如果把自变量的变化趋势改为“x∞”，则 lim x∞ sinx x 的结果就完全变了.根据无穷小量的性质，无穷小量与有界的积仍为无穷小量，得 lim x∞ sinx x =lim x∞ 1 x ・sinx =0，教学时，可以告诉学生把这个极限与基本公式（1）对照起来学习和掌握.

公式特点二：公式中的三个“x”必须三者统一.例如，求 lim x0 sin3x 2x 时，就应该将 lim x0 sin3x 2x 变形为 lim x0 3 2 ・ sin3x 3x ，而当x0时，有3x0，即“x0”等价于“3x0”，因此，lim x0 sin3x 2x =lim x0 3 2 ・ sin3x 3x = 3 2 lim 3x0 sin3x 3x ，利用基本公式（1）得：lim x0 sin3x 2x = 3 2 .

（2） lim x∞ 1+ 1 x x=e，此公式有三个特点：

① 在自变量的变化过程中，括号内以“1”为极限；② 括号内用“+”号连接；③ 1 x 和x存在一个倒数关系，满足以上三个特点，其极限才等于e.

在公式（2）中，令 1 x =t，则x= 1 t ，且当x∞时，有t0，于是公式（2）变形为 lim x0 （1+t） 1 t =e，很容易看出，变形后的公式仍然满足以上三个特点.

教学时，可以举例说明，如，lim x0 1+ 1 x x不满足特点①，lim x∞ 1- 1 x x不满足特点②，lim x∞ 1+ 1 2x x不满足特点③，因此，它们的极限都不等于e.

抓住了公式（2）的三个特点，就可以轻松解决一部分类似函数求极限的问题.如，

（1）lim x∞ 1- 1 x x=lim x∞ 1+ 1 -x x=lim x∞ 1+ 1 -x -x -1=e-1；

（2）lim x∞ 1+ 1 2x x=lim x∞ 1+ 1 2x 2x 1 2 =e 1 2 .

三、利用Hospital法则求极限

在利用极限的四则运算法则求两个分式函数的极限时，要求分母的极限不能为0，即 lim xx0 f（x） g（x） = lim xx0 f（x） lim xx0 g（x） = A B （其中lim xx0 f（x）=A，lim xx0 g（x）=B且B≠0）.假设A=0，B=0，

则不能再使用以上运算法则求分式函数的极限了.Hospital法则便提供了用来解决“ 0 0 ”型（或“ ∞ ∞ ”型）等未定式函数求极限的方法.根据Hospital法则，对于这两类未定式函数，我们可以对分子、分母分别求导，然后，求它们导数之比的极限.即 lim xx0 f（x） g（x） =lim xx0 f′（x） g′（x） .

一般地，当xx0时， f′（x） g′（x） 仍是 0 0 （或 ∞ ∞ 型），且满足Hospital法则的条件时，则可继续使用Hospital法则求极限，且可依此推.如，lim x0 x-sinx x3 =lim x0 （x-sinx）′ （x3）′ =lim x0 1-cosx 3x2 =lim x0 sinx 6x = 1 6 ，此例中就使用了两次Hospital法则.

但是，若所求极限已不是未定式时，则不能再用这个法则，否则将得出错误的结果.如，在计算 lim x2 x3-2x-4 （x-2）2 =lim x2 （x3-2x-4）′ [（x-2）2]′ =lim x2 3x2-2 2（x-2） =lim x2 （3x2-2）′ [2（x-2）]′ =lim x2 6x 2 =6的过程中，第二次使用Hospital法则时便出现了错误.

求极限的方法远不只以上几种，但是对于高职院校的学生来说，掌握以上方法就基本上实现了预定的学习目标.

教无常法，学无定式.不断积累、总结、完善、提高，应成为教师的一种习惯，勤于思考，学会归纳，终身受益.

【参考文献】

[1]曾庆柏.高等应用数学[M].北京：世界图书出版公司，2009.

[2]吴满，温向阳，洪潮兴，陈凤平.高等数学[M].广州：华南理工大学出版社，1990.

[3]周玉刚.高等数学[M].上海：上海科学技术出版社，1993.

[4]郑毓信，肖柏荣，熊萍.数学思维与数学方法论[M].成都：四川教育出版社，2001.

[5]赵雄辉.数学教育改革论[M].长沙：湖南大学出版社，2003.