复印机取纸分纸机构的数值模拟分析

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【摘要】在对两种常见的取纸机构进行了几何数学建模，提出了纸张利用摩擦力进行分离的数学模型及基于该模型的数值模拟。结论是：搓纸阶段搓纸轮的速度合理的选择对纸张拾取的成功率有很大的影响，纸张搓取分离成功的概率与搓纸辊轮的转速在一定范围内成正比;分纸阶段，在进纸轮下方施加一个反向力模型，进一步防止双张纸张的进给。该研究结果对复印机进纸单元的设计与改良具有一定的参考意义。

【关键词】摩擦取纸;纸张分离;摩擦模型

引言

现代社会打印机、复印机、传真机、冲印机以及ATMs等具有介质传输系统的产品随处可见，这些产品中的介质传送机械单元发挥着越来越重要的作用，例如纸张、胶片、钱币的进给等等，它们是决定产品能否正常工作的重要因素。进纸单元是复印机设计的一个重要组成部分，进纸装置必须能够可靠的分离并运送纸张，而且每次只将纸盒中最上面的一张纸进给，相反，如果一次运送多张纸，则产生粘连现象，从而导致双张、计时错误以及卡纸等现象。此前，各国学者对介质传输系统进行了多方面的研究，RC Benson在1995年研究发表了光滑片体在空气层的支撑下的运动方程，例举了纸张在空气层的支撑下，给定初速度至运动停止所需要的时间，得出了纸张的弯曲程度将会对这一结果产生影响，为片体的自由滑动分析提供理论依据[1]。国内西安交通大学的杨胜军、马军星、陈雪峰等人分别运用板壳元对纸张的力学特性进行有限元分析，利用小波有限元理论分析了办公纸张定影过程的运动边界条件，建立了纸张定影过程的二维稳态态非线性温度场数值模型[2～4]。山东大学的孙文虎以应用需求为背景，较为详细地阐述了一种新型激光打印机的研制过程，并对其中涉及到的关键技术进行了研究[7]。

1.进纸机构介绍

利用摩擦力进行取纸、分纸是最普遍的方法，这里介绍两种方法。

1.1 摩擦片分纸

图1 摩擦片式进纸结构

摩擦片式分纸由搓纸轮1，进纸轮2和摩擦片3组成，如图1所示。送纸轮转动时，它进给最上面的一张纸，也试图进送第二张纸，但是因为摩擦垫和第二张纸之间的摩擦力大于第一张和第二张纸之间的摩擦力，所以只进送第一张纸。

图2 FRR进纸装置

1.2 FFR式分纸

FFR进纸装置由搓纸轮1，进纸轮2和反转轮3组成，搓纸轮在启动之前不与纸堆相接触。在按下启动键稍后，搓纸轮向下挤压并传递给送纸轮和反转轮之间最上面一张纸。几乎在纸张顶头到达送纸轮的同时，搓纸轮提升离开纸堆，这样才不会干扰送纸轮和反转轮的运作。接下来送纸轮和反转轮接替送纸工作，进行进一步分纸和送纸。

2.纸张分离原理

2.1 搓纸部分

图3是摩擦力分离进纸搓纸部分的几何模型。纸盘中成叠放置C张纸，从上到下纸张序号依次为i=1，i=2，…，i=C。i=1表示最上层与辊轮接触的纸张，i=C表示最下层与纸盘接。

图3 摩擦力分离进纸的几何模型

触的纸张，辊轮的转速为n，辊轮对最上层纸张施以竖直向下的压力N，辊轮在转动过程中会传递一个水平的切向力H0，纸张之间每层的切向摩擦力为Hi，用μi 表示各层纸张之间的摩擦系数。在水平切向力的作用下纸张会产生滑动，第i张纸的滑动距离为Li。

在纸张的分离运动过程中，假设纸张之间产生的运动为刚体之间的滑动，忽略摩擦变形，同时也忽略滚轮的变形对摩擦的影响。第i层纸张的切向力Hi为：

（1）

式中：N为辊轮对纸张的正压力;m为单张纸的质量;g为重力加速度;μi为第i张纸与其下层纸张之间的摩擦系数。

由于滚轮与纸张之间接触的假设，我们可以认为滚轮边缘的线速度跟第一张纸进给的速度是一样的，故：

（2）

（3）

式中：为辊轮的加速度;n为辊轮的转速;R为辊轮的半径;μs为辊轮与纸张之间的摩擦系数; S为与第一张纸粘连的纸张中最下层纸张的序号。根据公式（1）（2）（3）可以计算出任意层纸张的加速度为：

（4）

式中，STOP和SBOT分别为所计算滑动层的最上层纸张的序号与最下层纸张的序号;HTOP和HBOT分别为所计算滑动层的最上层纸张的切向力与最下层纸张的切向力，据公式（4），一旦滑动层确定，就可以确定滑动加速度，然后算出滑动的速度和位移。

数值计算的纸张及系统参数：20#A4复印纸;纸张厚度0.1mm;纸张质量m=0.00437kg;纸张尺寸216mm×279mm;重力加速度g=9.8m/s2;辊轮半径R=8mm;纸张之间摩擦系数平均值μ=0.412，标准偏差σ=0.01。关于变量ui本文采用Sathoff于1987年在实验的基础上提出的一个纸张摩擦系数模型，他通过实验得到了20#复印纸的摩擦系数的平均值和标准偏差，摩擦系数的分布为正态分布的随机样本。如图4所示是数值仿真流程图。

图4 数值仿真程序流程图

为了判断纸张是否成功分离，建立纸张成功分离标准如下：

第一张纸的进给行程为L1，第二张及以下纸张的进给行程为Li，L1和Li若满足公式（5），则纸张成功分离。只有这样的成功分离进纸，才能避免双张的产生，并保证后续进纸机构的正常工作。

（5）

图5为得出的最上层三张纸的数值模拟计算位移，结果与实际的发生趋势相同。

图5 最上面三张纸进给距离

有了这样一个数值模型，我们就可以对分纸效果进行数值分析。本文在复印机进纸机构的设计过程中采用调节辊轮转速n对进纸机构进行控制，由于摩擦系数的正态随机分布，每次的模拟结果都不相同，最后得出的结果是计算500个样本的分离进纸成功率。图6为当辊轮正压力N=1.96N时，第一张纸进给行程L1=0.045m时，成功分离进纸概率随辊轮转速变化的关系。图中显示随着辊轮转速的增加，成功分离进纸概率增加，分离进纸可靠性加强。原因是由于当第一张纸进给行程L1一定时，辊轮转速n值大，则第一张纸的进给速度快，到达终点的时间短，即进给时间短，而纸张之间的切向摩擦力与速度无关，所以进给时间越短，下层纸张的进给距离Li值越小，成功分离进纸概率提高，分离进纸可靠性增强。

图6 成功分离进纸概率与辊轮转速关系

图7 纸张分离过程的计算模型

2.2 分纸部分

不管是摩擦片式分纸还是FFR式分纸，都是给纸堆施加一个反向的推力，防止双张进纸。这里以FFR式分纸为例进行动力学数学建模。

2.2.1 摩擦力模型

搓纸部分由于只要实现最上层纸的拾取，故没有考虑摩擦轮与纸张之间的速度差对摩擦力造成的影响，在分纸部分，由于控制精度的提高，所以要将速度考虑进去，这里采用修正后的库仑摩擦力模型来表示，公式如下：

C是正的系数，由实验测得。Vr是接触表面的相对滑动速度，这种摩擦模型可以描述速度不为零时的情况，也可以避免采用线性蠕滑理论的摩擦力修正问题。

2.2.2 FFR式纸张分离过程运动仿真与分析

为了将问题简化分析，在这之前必须有以下几项假设说明：（1）纸张与滚轮接触区域从侧面看为线接触;（2）在整个纸张输送过程中，送纸轮与纸张、分离轮与纸张之间没有相对滑动;（3）纸张视为刚体;（4）搓纸轮和分离轮为橡胶轮。在这里不考虑橡胶变形对分析结果的影响。图7为FFR式分离过程的计算模型。

运动方程的建立：

（6）

各个接触面的相对滑动速度为：

（7）

其中，J1、J2为送纸轮和分离轮的转动惯量，vp1、vp2是第一、二张纸的前进速度，m为纸张的质量，为送纸轮和分离轮的角速度，F1，F2，F3分别为各个表面接触的摩擦力，r1，r2为送纸轮和分离轮的半径，M，T分别为送纸轮和分离轮的扭矩。

给定数值仿真计算的各个参数：，送纸轮、分离轮与纸张的摩擦系数;，纸张间的摩擦系数，并根据纸张摩擦系数平均值的计算程序计算其值;N=0.5N，施加在分离轮上的正向力;，送纸轮的角速度;T=0.39Nmm，0.56Nmm，施加在分离轮上的方向扭矩。

采用四阶龙格-库塔法，对方程式（6）进行数值求解。运用matlab进行数值仿真计算，可获得各个方向扭矩对纸张分离过程中纸张的位移、速度、加速度的影响，如图8和图9所示。图示反映了双张纸张分离的过程中其位移、速度、加速度随时间变化的关系。

由图示可以看出在反向扭矩T分别为0.39Nmm和0.56Nmm作用下，两张纸的位移、速度及加速度的变化趋势相同。但随着方向扭矩的增大，第二张的速度减小，甚至出现了负值，即向进纸的反方向运动，故两张纸前进的位移差逐渐增大，实现了纸张的分离。

3.结论

对于搓纸部分建立的摩擦力分离进纸模型进行数值模拟，得到纸张分离进给的成功率与辊轮转速有关。运用数值求解的方法来分析FFR送纸机构中纸张分离及传送过程，避免了采用有限元分析或者多刚体动力学系统分析带来的耗时问题。根据反向力对纸张分离的影响，可以适当增大反向扭矩来提高分纸张的可靠性。而复印机的整个进纸系统是十分复杂的，本文的模型只是其中的一部分，今后将进一步对复杂的进纸系统进行分析研究，比如考虑纸张在纸道中的弯曲变形，以及周围环境因素对纸张进给的影响。

参考文献

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