柯西均值不等式的证明推广及其应用

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【摘要】 本文介绍了用反数学归纳法证明柯西均值不等式，并将该证明方法推广到证明乘幂平均数不等式，最后在柯西均值不等式的应用方面给出几个例子。

【关键词】 柯西均值不等式 反数学归纳法 乘幂平均数不等式 应用

高等数学里面一个最重要的主线就是极限，而极限的概念是用不等式刻划的，这就决定了不等式在高等数学中的重要性。柯西均值不等式就是高等数学中一类重要的不等式, 其证明方法也多种多样，历史上数学家柯西本人首次使用反数学归纳法来证明。反数学归纳法又称倒推归纳法，其基本思想如下：

若一个与自然数有关的命题Ｔ，如果

(1)命题Ｔ对无穷多个自然数成立；

(2)假设命题Ｔ对n=k正确，就能推出命题Ｔ对n=k-1正确。则命题Ｔ对一切自然数都成立；

这种方法具有重要的借鉴意义。

1.柯西均值不等式定理及其证明

定理 1 求证：n个正实数的算术平均值大于或等于这n个数的几何平均值，即

因此命题对n=4正确。

同理可推出命题对n=23=8，n=24,…，n=2s…都正确（s为任意自然数），所以命题对无穷多个自然数成立。

设命题对n＝k正确，令

则Sk-1=a1+a2+…akk，=a1+a2+…+ak-1 （容易证明上述是一个恒等式。）

由归纳假设命题对n＝k正确，所以

命题对n =k-1也正确，由反归纳法原理知，命题对一切自然数成立。

2.用倒推归纳法证明乘幂平均数不等式

证明 由于

若假设

则对

故对一切自然数k，有

如法用数学归纳法易证n=2m时成立。（从证明的过程不难看出等号当且仅当诸αi相等时成立，这一条在下面的证明中不再重复）

现假设定理对n+1个正数时成立，即

取 an+1=a1+a2+…an，则由归纳假设有

即

从而

即 。

故命题对一切自然数 结论为真。

3.柯西均值不等式在求极限中的应用

例1

解：αa+1是αn，αn的算术平均值，bn+1是αn、bn的调和平均值，故有αn+1≥bn+1（n=1,2,3…） ，又由αn+1-an=12(bn-αn)≤0，可见数列αn至少从第二项开始是单调减少的，该数列有下界0，故

见数列bn至少从第二项开始是单调增加的，该数列有上界α2，故可设bn=B 。

又注意到αnbn=αn-1bn-1，从而得αnbn=α1b1(n=1,2,3…) ，两边取极限知AB=α1b1

故得αn=bn=√α1b1 。

这个例子就像用网捕捉兔子，不妨假设α1＞b1，取二者的算术平均值α2，调和平均值b2，把区间［b1，α1］缩小为［b2，α2］，再如法处理，缩小为［b3，α3］，…，就好象一个区间套，最终缩到几何平均值√α1b1 。

例2 设xn=A，则x1+x2+…xnn=A 。

这个结果可以柯西均值不等式结合数列极限定义去验证 ，直观上讲如果数列大多数都趋近于A，那么数列的算术平均值也趋近A 。

例3

这个结果可以用柯西均值不等式结合极限中的两边夹法则去证，直观上讲如果数列大多数都趋近于 ，那么数列的几何平均值和调和平均值也趋近 。

4.结束语

我们利用反数学归纳法证明了柯西平均值不等式和乘幂平均数不等式，实际上有许多不等式均可利用这种方法进行证明，这为证明不等式开辟了新的途径和方法，是值得研究的课题。同时我们可以看出柯西平均值不等式有许多应用。

参考文献

［1］ 华东师范大学数学系。数学分析［M］北京：高等教育出版社，2001

［2］ 丘维声．高等代数上册［M］北京：高等教育出版牡，1996

［3］ 杨子胥高等代数习题解(修定版)［M］济南：山东科学技术出版社，2002

［4］ 刘三阳，于力，李广民．数学分析选讲［M］北京：科学出版社，2007