柯西中值定理证明方法的探讨

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摘要： 微分中值定理，是研究函数的重要工具， 微分中值定理是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的总称.本文主要给出了柯西中值定理的几种证明方法.

关键词：柯西中值定理， 反函数法， 坐标旋转法.

1 引言

由于解决实际问题的需要，人们引进了微分学的概念，并对它进行研究发展，使之成为一门系统化、全面化的理论。而且微分学也随之成为解决实际问题中一种重要的工具之一，其应用也越来越广泛。而微分学中的一个重要定理――微分中值定理――是微分应用的理论基础，是微分学的核心理论。

微分中值定理有着明显的几何意义，以拉格朗日定理为例，它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。”从这个意义上来说，人们对微分中值定理的认识可以上溯导公元前古希腊时代，古希腊数学家在几何研究中，得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况，求出抛物线弓形的面积。希腊著名数学家阿基米德（Archimedes，公元前287―前221）正是巧妙地利用这一结论，求出抛物线弓形的面积。意大利卡瓦列里（Cavalieri，1589―1674）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，引理叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。本文主要给出了柯西中值定理的几种证明方法。下面先给出柯西中值定理：

柯西定理 如果在闭区间上连续，在开区间上可导，对任意的，不为零，那么在内至少有一点使等式成立

2 证明方法

（1） 用坐标旋转法证明柯西中值定理

证明：定理的条件可知，函数 的图像是平面上一条连续且光滑的曲线L，曲线L的两个端点分别为

由图所示，

图2. 1

与轴正向的夹角为， ，旋转轴使，则曲线上任意一点在新坐标系下的坐标为

而

所以曲线L在新坐标系下的参数方程

（2.1）

显然对任意的存在，

则方程（2.1）在上满足罗尔定理的条件，故存在，得

所以有

所以

定理证明完毕。

（2） 用反函数法证明柯西中值定理

证明：首先在内可导，且，故或，

不能， 使得且，如若不然，由达布定理知，存在在与之间，使得，这与已知条件矛盾，故对一切，恒大于或恒小于，不妨设，从而知道在内为严格单增函数，也就存在反函数，其次设而在上连续，在内可导，知道的反函数在上连续，在内可导.又由在上连续，在内可导，知道函数也在上连续，在内可导，由格朗日中值定理知道，存在使得

令，即

，

则并且及复合函数，反函数的导数。得：

代入上式，得到

定理证明完毕。

参考文献

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