对两种通信体制误码概率计算公式的辨析

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摘 要:针对QPSK与BPSK通信体制下信号相干检测错误概率的计算公式和相应的曲线往往互不相同,以及容易使人困惑的问题,为达到正本清源的理解和应用的目的,对各种通信文献中涉及到的二者公式和相应曲线进行了汇总,结合基本原理和工程应用实践,对其本质进行了理论阐述,对差异之处进行了对比辨析,指出了二者的区别及其内在统一性,并作了工程应用小结。

关键词:QPSK;BPSK;相干检测;误码率

中图分类号:TN914 文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2009)21-037-03

Discrimination on Two Communication System Bit Error Probability Formulas

GAO Jintao,ZHU Jingbo,WANG Yuanlong,LIU Liwei

(Unit 63898 of PLA,Jiyuan,454650,China)

Abstract:In allusion to variances of signal coherent detective error probability formulas and its corresponding curves of QPSK and BPSK communication system,so as to clearly understanding and applications,the formulas and its corresponding curves from all kinds of communication documents are gathered,combined with its principle and engineering applications,the essences are academically expatiated,the differentia are analyzed and differentiated,the discrepancy and inherent unification are detailed clarified,and summing-up in engineering application is given.

Keywords:QPSK;BPSK;coherent detection;bit error

在通信系统工程应用中,人们所使用的四相相移键控(QPSK)调制体制信号在相干检测时的误码率计算公式与二相相移键控(BPSK)信号相干检测的误码率计算公式是一样的。然而,在相关通信文献中,常常可以见到这两种体制的概率计算公式及其对应的曲线有时很不相同,而且各资料中的公式也互不相同。对这些差异该如何理解,它们之间的表观矛盾其本质何在,它们的应用价值如何等,这些问题很容易使从事通信技术工作的人员困惑不解。本文将对这些问题进行分析,将某些文献中的阐述、说明加以比较汇总,并给予了详细分析和解释,以助于在通信工程中的正确应用。

1 不同计算公式与曲线的汇集对比

1.1 第一种情况

BPSK与QPSK信号相干检测的错误概率计算公式是相同的,同为:

Peb=12erfc(Eb/N0)(1)

式中:Peb为信息码元(bit)的错误概率,常称之为误码率;Eb为每个信号码元的能量;N0为白噪声的功率谱密度;Eb/N0为归一化信噪比。式(1)的曲线如图1所示。

图1 BPSK与QPSK的误码率曲线

1.2 第二种情况

对BPSK,计算公式为:

Pes=12erfc(Eb/N0)(2)

式中:Pes为信道中传输符号的错误概率。

对QPSK,计算公式为:

Peserfc(Eb/N0)(3)

式(2)、式(3)对应的曲线如图2所示。

1.3 第三种情况

对BPSK,计算公式为:

Pes=12erfc(Es/N0)(4)

式中:Es为每个符号的能量;Es/N0为归一化符号信┰氡取＊

对QPSK,计算公式为:

Peserfc(Es/N0)(5)

式(4)、式(5)对应的曲线如图3所示。

图2 BPSK与QPSK误符号率

对归一化信噪比的曲线

图3 BPSK与QPSK误符号率

对归一化符号信噪比的曲线

2 对各公式的分析

2.1 基本概念

QPSK信号相干检测的基本原理如图4所示。

图4 OPSK信号相干检测基本原理

在输入端的QPSK信号为:

s(t)=a(t)2Eb/Tbcos ωt+b(t)2Eb/Tbsin ωt(6)

式中:Eb,Tb分别为信号码元的能量和码元宽度;a(t),b(t)为调制载频的视频码元脉冲,在Tb宽度内各自独立取+1值。因此,式(6)中的a(t),b(t)可以产生(+1,+1),(+1,-1),(-1,+1)和(-1,-1)四种组合。每一种码元组合称为一个符号,设符号宽度为Ts,在现在的情况下有:

Ts=Tb(7)

每个符号对应于QPSK信号s(t)的一个相位,共有4种相位。因此,式(6)可以改写为:

s(t)=a2(t)+b2(t)2Eb/Tscos(ωt+φ)

=4Eb/Tscos(ωt+φ)(8)

式中:Е杖∩鲜4种相位之一,4Eb/Ts代表QPSK信号的幅度,与式(6)右端两项幅度2Eb/Tb比较可知,QPSK信号中的符号能量为信号码元能量的2倍,设符号能量为Es,有:

Es=2Eb(9)

区分符号与信息码元以及它们能量之间的差异,对理解相干检测错误概率的不同公式区别及其内在统一性是十分重要的。

2.2 式(3)与式(5)的差异分析

式(3)与式(5)本质上是相同的,其差异仅在于前者用码元能量Eb表示,后者用符号能量Es表示。利用公式(9)即可把式(3)变换为式(5),或者反之。与此对应的图2与图3曲线的差异也仅仅是横坐标的不同(见┩2与图3)。只要根据式(9)把横坐标换成同一个量,两图中的曲线将完全相同。

2.3 式(1)与式(3)的差异分析

式(1)是图4中I支路或Q支路上信息码元的检测错误概率计算公式,它不涉及式(8)所示在信道中传输的符号。所以,公式(1)中决定Peb的信号能量是码元能量Eb,与符号能量Es无关。I,Q支路是相互独立的,每一条支路都是一个BPSK信号通道,所以每条支路误码率Peb的计算方法都与BPSK的相同,如式(1)及图1曲线所示。

式(3)是计算符号错误概率的公式,它是由BPSK的计算公式推导出来的,其推导思路如下:符号由I,Q两支路的码元组合而成,所以符号发生错误的概率Pes等于I支路码元发生错误而Q支路码元正确和Q支路码元发生错误而I支路码元正确以及二支路同时发生错误这三种情况的错误概率之和。每一支路发生错误的概率为Peb,不发生错误的概率为1-Peb,故前两种情况的错误概率为Peb(1-Peb),后一种情况的错误概率为Peb2。故符号错误概率为:

Pes=2Peb(1-Peb)+Peb2

=Peb-Peb2=2Peb=erfc(Eb/N0)(10)

式(10)给出了符号错误概率与码元错误概率的联系。

2.4 式(1)应用的不同情况

因此,所有分析都是在式(7)给出的Ts=Tb条件下进行的。在此条件下,QPSK与BPSK虽用同一式(1)或式(2)计算误码率,但对于相同的Eb,QPSK与BPSK的符号能量Es却不相同。对ZPSK,有Es=Eb;对QPSK,则有Es=2Eb,即为了在相同的传输带宽条件下,用QPSK把BPSK的码元传输率提高一倍,对相同的误码率要求,需要把传输功率Es/Ts提高一倍。

而在工程实用中,通常用QPSK系统传送一个统一的数据流,该数据流经串/并转换而成为I,Q两支并行数据流,于是:

Ts=2Tb(11)

因此,两支路的码元能量将增加一倍,从而使Eb达到:

Es=Eb(12)

在这种情况下,对相同的传输带宽和误码率要求,用QPSK把码元传输率提高一倍,无需增加传输功率。

3 结 语

(1) 为正确理解QPSK信号相干检测的各个错误概率计算公式的差异及其本质上的统一性,必须清楚区分“信号码元”及“符号”这两个概念以及它们的能量Eb,Es和它们的错误概率Peb,Pes的差异。

(2) 为表示QPSK传输体制的总体性能,应当用符号错误概率。因此用式(3)或式(5)及其相应的图2或图3的曲线是合理的。其中,式(5)及图3曲线,用符号信噪比Es/N0表达符号错误概率似乎更合理。但是,码元的归一化信噪比Eb/N0远比Es/N0用得广泛,这也许是在大多数文献中都用式(3)与图2曲线的原因。

(3) 在工程实际应用中,人们更关心的不是系统的整体性能,而是传输的信息数据的误码率。所以,┦(1)及图1曲线更具有实际价值。在运用式(1)与图1曲线时,应注意区分符号与码元宽度(Ts与Tb)异同的两种情况,二者的发送功率相差一倍。

参考文献

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[9]刘蕴才.遥测遥控系统\.北京:国防工业出版社,2000.

[10]李乐民,赵樟森.数字通信传输系统\.北京:人民邮电出版社,1997.

作者简介

高进涛 男,1981年出生,63898部队工程师。主要从事电子信息装备试验与评估。

朱静波 男,1981年出生,63898部队工程师。主要从事虚拟仿真与Core Draw制图。

王元龙 男,1981年出生,63898部队工程师。主要从事电子信息装备试验与评估。