探索·分类·讨论

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一个等腰三角形的一边等于3，一边等于6，这个三角形的周长等于多少？Z老师以这个简单的问题开始了今天的讲座.

W同学说：如果腰长为3，那么周长为3

+3+6=12；如果腰长为6，那么周长为6+6+3=15.

听完W同学的解答，H同学说：如果腰长为3，三角形的三边为3，3，6，由于3+3=6，这样的三角形不存在.本题的解只能是15.

Z老师说：W同学注意到腰长可能有两种情况，分类进行讨论，这是值得肯定的，但忽视了对讨论结果的检验.H同学注意到3，3，6不能构成三角形，使问题获得解决.下面我想着重谈谈“分类讨论”的问题.

例1有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为度.

L同学说：如图1，DAB、BDC为等腰三角形，设∠A=α，则有∠DBA

=α，∠BDC=2α，∠ABC=∠C=2α，因此α+2α+2α=180°，α=36°.

小清说：L同学的解不全面，BCD为等腰三角形，∠CBD除了为顶角外，还有一种情况，就是∠CBD为底角.因此，∠CBD=2α，∠ACB=∠ABC=3α，于是2α+2α+3α=180°，α=■.

Z老师说：当你解题感到很顺手的时候，头脑要保持冷静，再想一想，还有其它情况吗？本题中∠CBD就有①为顶角、②为底角两种情况，这就是分类讨论的思想.还要指出一点，解几何问题，在重视图形的直观性时，要防止由于图形的局限性而产生误导.

再看例2一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度数是.（2005年河北省初中竞赛试题）如何体现分类讨论的思想呢？

W同学说：等腰三角形的一条高应指底边上的高和腰上的高，有两种情况.

（1）底边上的高：如图2-1，由AD=■AB，∠ADB=90°，得∠B=30°.

（2）腰上的高：如图2-2，由CD=■AC，∠CDA=90°，得∠A=30°，底角∠B=75°.

没有人马上对W同学的解发表意见，气氛一下子变得沉闷起来.

S同学说：刚才老师特别指出，要防止图形的误导，我认为过C作腰AB的高，垂足D的位置应有三种可能：①在线段AB上，②与A点重合，③在BA的延长线上.而这三种情况取决于顶角A是锐角、直角还是钝角.W同学只解决了其中的一种情况.当∠A=90°时，如图2-3，垂足D与A重合，此时腰上的高与腰相等，不符合题意.当A是钝角时，D在BA的延长线上，如图2-4.CD=■AC，则∠DAC=30°，底角∠B=■∠DAC=15°.本题中针对顶角A的范围的讨论，同样体现了分类讨论思想.

Z老师说：两位同学对问题的剖析，说明他们对分类讨论的思想已有所领悟.下面请解题：等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于.

小清说：由S同学的分析，对一条腰上的高，垂足的位置分成三类.第一类：垂足在腰AB上，即∠A为锐角时，某条边再分成底边和腰两种情况，（i）如图3-1，CD=■AC，得∠A=30°；（ii）CD=■BC，得∠B=30°，于是∠A=120°，与∠A为锐角矛盾，舍去.第二类：如图3-2，垂足与A重合，即∠A为直角时，此时CD=AB或CD=■BC，均不合题意.第三类：垂足在BA的延长线上，即∠A为钝角时，如图3-3，同理，（i）CD=■AC，得∠DAC=30°，于是顶角∠A=150°；（ii）CD=■BC，则∠B=30°，顶角∠A=120°.综上，本题有三个解，即30°，120°，150°.

Z老师说：小清的思路很清晰，不多说了.下面请看例3：已知点A和点B，以A、B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出多少个？

许多同学在纸上边画边点数，唯独H同学拿着笔在沉思.

H同学说：我与分类讨论挂起钩来，AB边分别为等腰直角三角形的斜边、直角边.第一类：以AB为斜边，可作两个等腰直角三角形，直角顶点就是以AB为对角线的正方形AC1BC2的另两个顶点，图4中点C1、C2.第二类：以AB为直角边，又要分两种情况，第一是A为直角顶点，过A作AB的垂线，并截取AC3=AC4=AB，得三角形第三个顶点C3、C4；第二是B为直角顶点，同理得C5、C6.因此一共可作出6个.

Z老师说：H同学分析透彻，值得大家学习.再看例4已知坐标原点O和点A（2，-2），B是坐标轴上的一点，若AOB是等腰三角形，则这样的点B共有多少个？ （2005年重庆市初中竞赛试题）

W同学很快画出图5，说有8个.

Z老师点了点头.望着不少学生困惑的神情，Z老师请W同学解释一下.

W同学说：（1）以OA为底边：作OA的垂直平分线与坐标轴交于B1、B2，得两个等腰三角形.（2）以OA为腰：（i）O为顶角的顶点：以O为一个端点，在坐标轴上截取线段OB3=OB4=OB5

=OB6=OA，得四个等腰三角形；（ii）A为顶角的顶点：以A为端点，OA长为半径，画弧，除O点外，交坐标轴于B7、B8两点，又得两个等腰三角形.

小清插话说：就是OA的垂直平分线和以O、A为圆心、OA长为半径的两个圆与坐标轴交点（除去点O）的个数.它们的坐标是（2，0），（0，-2），（2■，0），（0，-2■），（-2■，0），（0，2■），（4，0），（0，-4）.（你会求吗？）

例5双曲线y=■上有一点A（1，c），在x轴上是否存在点P，使得AOP为等腰三角形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

L同学说：A（1，c）在双曲线y=■上，有c=■=2，A点坐标为（1，2）.以OA为腰，（i）A为顶角的顶点：过A作ABx轴，交x轴于B（1，0），O关于B的对称点P1（2，0）；（ii）O为顶角的顶点：在x轴上截取OP2=OP3=OA=■，P2（■，0）、P3（-■，0）；（iii）以OA为底边：作OA的垂直平分线DP4，交x轴于P4，但P4的坐标我还没有求出.符合题意的P点有4个.

S同学说：由OBA∽ODP4，得■=■，也即■=■，所以OP4=■，P4（■，0）.

小清说：由∠OAB=∠OP4D，得sin ∠OAB=sin ∠OP4D，即■=■，■

=■，OP4=■，所以P4（■，0）.

Z老师说：S同学利用相似形，小清利用锐角三角函数，提供的解法都很好.今天，以等腰三角形为载体，介绍在解题过程的探索中，如何进行分类讨论，希望能给大家有所启迪.从刚才实际解题的情况看，各位对此已有一定的理解，需要强调的是“分类”既不能重复，也不能遗漏；另外在讨论过程中产生的结果，一定要予以检验，必须符合分类的前提条件.

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