矩阵计算在通信领域中的研究与进展

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摘 要：约束矩阵结构特征的刻画和约束矩阵方程的求解在通信领域问题研究中具有重要地位。本文首先介绍了信领域研究中的有关线性约束矩阵方程的求解方法；然后介绍了通信领域中抽象出的马尔可夫过程中的Riccati型非线性矩阵方程的求解方法；最后给出该研究问题的研究方向。

关键词：约束矩阵；矩阵计算；通信领域

中图分类号：TN915

矩阵计算作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域都有广泛应用。计算机技术及计算技术的发展也为矩阵计算的应用开辟了更广阔的前景。在随处可见的通信领域问题的研究中，有不同类型的矩阵的结构特征和性质需要进一步刻划和不同类型的约束矩阵方程需要更精确、快速的求解。

目前，通信领域研究中的有关线性约束矩阵方程的求解方法主要有两类：代数法和迭代法。代数求解法是利用矩阵的分块、广义逆和多种分解技术，根据不同的约束矩阵方程和不同的约束矩阵集合类的有关结构特征和性质，将高维问题转化为低维问题，从而寻求线性约束矩阵方程解存在的条件，建立解的一般表达式的一种方法。利用代数求解法得到的解清晰直观，有解的条件简单明确，运算量小且精度高。因此，利用代数法求解线性约束矩阵方程是近几年非常活跃的课题 [1]。然而，能用代数法求解的矩阵方程是很有限的，绝大多数线性约束矩阵方程是不能用代数法求解的。如简单矩阵方程AX=B的非负解和Teoplitz解等；现代控制理论中矩阵方程AXB+CYD=E的对称（反对称）解，双对称（双反对称）解和非负（非负定）解等；振动理论中矩阵方程AXB=D的非负定最小二乘解，最小二乘对称（反对称）最佳逼近解等；广义Sylveter方程和广义Lyapunov方程的双对称（双反对称）最小二乘解和非负定解等。此外，在超大规模矩阵方程问题的求解中，因为利用了矩阵的分解和广义逆，矩阵的稀疏性特征被破坏，时间和空间复杂度又将是一个亟待解决的问题。因此，寻求求解线性约束矩阵方程的高效稳定的迭代解法是必要的。

线性约束矩阵方程的迭代解法有类线性方程组迭代法和特殊迭代法两个研究方向。类线性方程组迭代法就是利用求解线性方程组的迭代法来求解矩阵方程的方法。类线性方程组迭代法求解矩阵方程的基本思想是首先通过矩阵的Kronecker乘积将矩阵方程转化为等价的线性方程组，然后用适当的求解线性方程组的迭代法写出求解矩阵方程的向量形式的迭代格式，最后将向量形式的迭代格式转化为矩阵形式的迭代格式。

约束矩阵方程问题的主要研究内容非常丰富和广泛，涉及到数值代数、矩阵计算、最优化方法、逼近理论等许多领域，有很重要的理论意义和实际应用价值，值得我们进一步深入系统地研究。因此可以从中得出启示：1、对通信领域研究中的有关约束矩阵，探求新的结构特征和性质，进行扰动分析研究。2、对通信领域研究中的有关线性约束矩阵方程，如Sylvester方程、Lyapunov方程和Stein方程等，设计新的在理论上具有有限步终止特性的迭代方法。通过分析产生误差的原因，探求预处理技术，以便进一步提高迭代解的收敛速度和精确度。

参考文献：

[1]廖安平，白中治.矩阵方程AXAT+BYBT=C的对称与反对称最小范数最小二乘解[J].计算数学，2005，81-95.

[2]陈兴同.一类矩阵方程的公共解[J].高等学校计算数学学报，2005，133-148.

作者简介：李志平（1978-），女，湖南邵阳人，讲师，硕士，研究方向：图像处理与矩阵计算。

作者单位：海南软件职业技术学院，海南琼海 571400

基金项目：海南软件职业技术学院科研项目（Hr201103）和海南教育厅高等学校科学研究项目（Hjkj2012-56）。