对一道暑假作业题的发散思考
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近日闲暇，翻看八年级暑假作业，在发现规律框题中见到一题，经探究有一些心得.
原题设α+β=1，αβ=-1.设S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn.
（1）试确定S2=，S3=，S4=；
（2）通过观察，归纳，推断Sn.
（3）由Sn求α10+β10的值.
解析此题若由九年级或高中学生思考轻而易举，但八年级学生仅有整式乘法和因式分解知识垫底，那就有点意思了.观察发现已知的式子α+β，αβ与待求的式子α2+β2恰好与完全平方公式（α+β）2=α2+2αβ+β2有内在的联系.由公式易得α2+β2=（α+β）2-2αβ=12-2×（-1）=3.
沿着这一思路继续能推导出S3、S4吗？即α3+β3与（α+β）3和αβ、α4+β4与（α+β）4和αβ仍有类似于（α+β）2=α2+2αβ+β2的关系吗？显然，这已经超出八年级学生的知识范围了.
换个角度，考虑α3+β3中的α3、β3的指数比α2+β2中的α2、β2的指数均大1，若给α2+β2各项分别乘以α、β就会得到α3、β3.我们计算（α2+β2）（α+β）结果是α3+β3+α2β+αβ2，因此
α3+β3=（α2+β2）（α+β）-（α2β+αβ2）
=（α2+β2）（α+β）-αβ（α+β）
=3×1-（-1）×1=4.
S4能这样推算吗？经验证
S4=α4+β4=（α3+β3）（α+β）-αβ（α2+β2）
=4×1-（-1）×3=7.
归纳S1，S2，S3，S4可得Sn=Sn-1+Sn-2.
至此，（1）、（2）已解决，（3）的解答用公式Sn=Sn-1+Sn-2.S10=α10+β10=S9+S8根据S1=1，S2=3容易推得S8=47，S9=76所以S10=S9+S8=76+47=123.
作为一个八年级数学问}，解答已完毕.就此打住，实在可惜.我们知道，两个已知式子是熟知的韦达定理表达式，α、β是一元二次方程x2-（α+β）x+αβ=0的两个根.在本题中，α+β=1，αβ=-1，α+β与αβ均为整数且互为相反数.从这一点出发思考以下问题：
（1）α、β换做其他互为相反数的整数时，原题如何解答？仍有Sn=Sn-1+Sn-2吗？
（2）将α+β与αβ的值互换，情况如何呢？
（3）α+β、αβ的值能推广到全体整数、有理数、实数吗？
另一方面，解答原题知道，S1，S2，S3，…，Sn的值构成一个斐波那契数列，Sn=Sn-1+Sn-2是它的递推公式.从数列的角度考虑，将α+β与αβ互为相反数的关系变化成其他关系，如相等关系，倒数关系，方幂关系等，此时S1，S2，S3，…，Sn确定的值还构成数列吗？它的递推公式如何？
1从方程角度讨论互为相反数的α+β与αβ的值的取值范围
1.1α+β=2，αβ=-2，
S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn.
试推断S1，S2，S3的值，Sn=αn+βn=？
解析仿照原题，
S2=α2+β2=（α+β）2-2αβ=4-2×（-2）=8；
S3=α3+β3=（α2+β2）（α+β）-αβ（α+β）=8×2-2×（-2）=20=S1（S2+S1），
由此归纳Sn=αn+βn=S1（Sn-1+Sn-2）.
12若α+β=-2，αβ=2
S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn.试确定Sn.
解析S1=α+β=-2；
S2=α2+β2=（α+β）2-2αβ=S21+2S1
=S1（S1+2）=-2×（-2+2）=0；
S3=α3+β3=（α2+β2）（α+β）-αβ（α+β）=S2S1+S21=S1（S2+S1）=-2[0+（-2）]=4.
故Sn=S1（Sn-1+Sn-2）.
13若α+β=m，αβ=-m
S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn.
仿前仍可推得Sn=S1（Sn-1+Sn-2），在这里m的取值范围是什么？
由α+β=m得β=m-α，代入αβ=-m中，得
α2-mα-m=0，于是Δ=（-m）2-4（-m）=m2+4m，所以α=m±m2+4m2，所以β=m-α=2m-（m±m2+4m）2=mm2+4m2，所以，
α1=m+m2+4m2，
β1=m-m2+4m2，α2=m-m2+4m2，
β2=m+m2+4m2.
由以上可以看出：α、β值有两组，m的值取决于α、β.
Ⅰ.当m2+4m=0，即m=0或m=-4时，α、β均为整数，且有相等的两组值，即
α1=0，
β1=0，α2=-2，
β2=-2.
Ⅱ.当m2+4m>0时，α、β均为实数，且它们互为有理化因式.讨论不等式m2+4m>0的解集：
m2+4m>0转化为
①m>0，
m+4>0，或②m
m+4
①式解集为m>0，②式解集为m
因此m2+4m>0的解集为m>0或m
Ⅲ.m2+4m
①m
m+4>0，或②m>0，
m+4
①式的解集为-4
所以不等式m2+4m
把不等式m2+4m≥0与m2+4m
从图上可以看出，满足α+β=m，αβ=-m的m的值可以取全体实数.
2从数列角度讨论α+β与αβ互为其他关系的递推公式
2.1相等关系
设α+β=m，αβ=m（m∈R）
S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn.求Sn.
S2=α2+β2=（α+β）2-2αβ=S21-2S1=S1（S1-2）；
S3=α3+β3=（α2+β2）（α+β）-αβ（α+β）=S2S1-S21=S1（S2-S1）；
…
Sn=S1（Sn-1-Sn-2）.
2.2倒数关系
设α+β=m，αβ=1m（m∈R，m≠0）
S1=α+β=m；
S2=α2+β2=（α+β）2-2αβ=S21-2S1；
S3=α3+β3=（α2+β2）（α+β）-αβ（α+β）=S2S1-S1S1；
S4=α4+β4=（α3+β3）（α+β）-αβ（α2+β2）=S3S1-S2S1.
由此类推知Sn=S1Sn-1-Sn-2S1.
2.3负倒数的关系
设α+β=m，αβ=-1m（m∈R，m≠0）
S1=α+β；
S2=α2+β2=（α+β）2-2αβ=S21+2S1；
S3=α3+β3=（α2+β2）（α+β）-αβ（α+β）=S2S1+1；
S4=α4+β4=（α3+β3）（α+β）-αβ（α2+β2）=S3S1+S2S1.
以此类推Sn=S1Sn-1+Sn-2S1.
2.4方幂关系
①若α+β=m，αβ=mn（m∈R，n∈N+）
S1=α+β；
S2=α2+β2=（α+β）2-2αβ=S21-2Sn1；
S3=α3+β3=（α2+β2）（α+β）-αβ（α+β）=S2S1-Sn1S1；
S4=α4+β4=（α3+β3）（α+β）-αβ（α2+β2）=S3S1-Sn1S2；
依此推，Sn=S1Sn-1-Sn1Sn-2.
②若α+β=mn，αβ=m（m∈R，n∈N+）
S1=α+β=mn；
S2=α2+β2=（α+β）2-2αβ=S21-2nS1；
S3=α3+β3=（α2+β2）（α+β）-αβ（α+β）=S2S1-nS1S1；
S4=α4+β4=（α3+β3）（α+β）-αβ（α2+β2）=S3S1-nS1S2.
依次类推，Sn=S1Sn-1-nS1Sn-2.
综上可知，原题适合八年级至高中各个年级学生解答.其中涉及了恒等变形、类比、归纳、演绎推理等数学思想，运用了因式分解、韦达定理、有理数、实数和复数概念、数列及其递推公式等知识以及改变“关键词”法等命题探究方法.是训练学生综合运用知识能力，特别是提升学生发散思维能力的好题.本题还有哪些发散方向？期待您的参与！