带线性红利和干扰的双复合Poisson风险模型
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摘要:在经典模型的基础上，研究了存在红利界限和带随机干扰的保费收取过程为复合Poisson过程的风险模型.运用鞅方法得出了破产概率满足的Lundberg不等式和一般公式，并给出了生存概率满足的积分-微分方程．
中图分类号:O211.67
文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)01-0024-04
Two-Compound Poisson Risk Model of a Linear Dividend Barrier and Interference Item
ZHAO Jine1, HE Shuhong2, WANG Guihong3
(1. School of Mathematics, Honghe University, Mengzi 661100, China;
2. School of Mathematics and Statistics, Yunnan University, Kunming 650091, China;
3. Department of Computer Science, Yuxi Agricultural Vocational College, Yuxi 653106, China)
Abstract:
On the basis of the classical risk model, the research studies a new risk model which is perturbed by diffusion in the presence of a linear dividend barrier and the arrival of insurance policies as a compound Poisson process. By applying the martingale approach，the Lundberg inequality and the formula of the ruin probability are obtained．Meanwhile, the integral-differential equation of the survival probability is obtained.
Key words:linear dividend barrier; interference; ruin probability; the integral-differential equation
0 引言
风险理论作为保险精算数学的一部分，是当前精算和数学界研究的热门课题，主要处理保险事务中的随机风险模型并研究破产概率、调节系数等问题.经典风险模型定义为：
U(t)=u+ct－∑N(t)k=1Xk.(1)
其中u及c为常数,u为初始资本,c表示保险公司单位时间内收取的保险费,N(t)是强度为λ的Poisson过程,表示(0,t］内保险公司的理赔次数,Xk为非负独立同分布随机变量序列，表示保险公司第k次的理赔额，U(t)表示保险公司在t时刻的盈余.
近几年，大量文章对经典风险模型进行了研究，并取得了有关破产概率方面的结果，参见文献［1-3］等.经典风险模型是假设保险公司按照单位时间常数速率取得保单（每张保单的保险费为常数c）.但任何风险事业都是在随机环境中进行的，因此保费收取过程应是一随机过程，文献［4-6］利用Poisson过程对此进行了研究.事实上，由于不确定因素的干扰，余额过程会发生一些变化，文献［7-8］注意到了这个问题，对不确定因素进行了研究，并用布朗运动来描述这样的干扰.本文在文献［8］的基础上引入线性红利因素，建立存在线性红利界限和带随机干扰的保费收取过程为复合poisson过程的风险模型，运用鞅方法得出破产概率满足的Lundberg不等式和一般公式，并给出了生存概率满足的积分-微分方程.
1 模型的引入
定义1.1 设u≥0，给定概率空间(Ω,F,P)，t≥0，令
U(t)=u+σW(t)+∑M(t)k=1Yk－∑N(t)k=1Xk;(2)
R(t)=σW(t)+∑M(t)k=1Yk－∑N(t)k=1Xk.
其中Yk表示第k张保单收取的保费，M(t)为(0,t］内保险公司收到的保单数，W(t)为(0,t］内保险公司不确定的收益和付款，σ为大于0的常数，R(t)表示保险公司在t时刻的盈利，其他术语的含义同模型(1).
对模型(2)作如下假设：
(1){Xk,k≥1},{Yk,k≥1}是均值为μ1,μ2的非负独立同分布随机变量序列，其分布函数分别为F1(x),F2(y)；
(2){N(t),t≥0},{M(t),t≥0}是强度分别为λ1,λ2的Poisson过程；
(3){W(t),t≥0}为一标准的布朗运动；
(4){Xk;k≥1},{Yk;k≥1},{M(t),t≥0},{N(t),t≥0},{W(t),t≥0}相互独立.
定义1.2 下面对模型(2)作如下修正，设定一个线性红利界限y=b+at，其中b为初值(u≤b)，a为递增速率(0
赵金娥，何树红，王贵红：带线性红利和干扰的双复合Poisson风险模型
dU(t)=σdW(t)+dS1(t)－dS2(t),U(t)
其中S1(t)=∑M(t)k=1Yk,S2(t)=∑N(t)k=1Xk.设M(t)=max{U(s)－(b+as),0≤s≤t}，则D(t)=
M+(t)，U(t)=U(t)－D(t)，D(t)表示至时刻t发放的所有红利.
定义1.3 记T=inf{t≥0,U(t)
2 预备引理
引理2.1 对于盈利过程{R(t),t≥0}，存在函数g(r)，使得E［exp(－rR(t))］=exp(tg(r)),其中g(r)=λ1［MX(r)－1］+λ2［MY(－r)－1］+Dr2，MX(r)=E［erX］为理赔额Xk的矩母函数,D=σ22.
引理2.2 方程g(r)=0存在唯一正解R，称之为调节系数.
引理2.3 {exp(－RU(t))+RRexp［－(R+R)b］exp(RU(t)－t(λ1MX(－R)－λ1－λ2+λ2MY(R*)+DR*2)］}
为鞅，其中R是方程λ1MX(-R*)-λ1+λ2MY(R*)-λ2+DR*2-aR*=0的正解.
证明 对于存在线性红利界限的风险模型(3)，为了寻找函数υ(z,t),t≥0,0≤z≤
b+at，使得{υ(U(t),t)}为鞅，要求
D2υz2+υt+λ1∫+∞0υ(z－x,t)dF1(x)+λ2∫+∞0υ(z+y,t)dF2(y)－(λ1+λ2)υ(z,t)=0,
z
D2υz2+aυz+υt+λ1∫+∞0υ(z－x,t)dF1(x)－λ1υ(z,t)=0,z=b+at.(5)
转化为寻找函数υ(z,t)使得方程(4)对所有z和t皆成立，并满足
υz=0,z=b+at.(6)
考虑如下形式的函数
υ(z,t)=exp{－rz－t［λ1(MX(r)－1)+λ2(MY(－r)－1)］+Dr2］}+
rr*e-(r+r*)bexp{r*z-t［λ1(MX(-r*)-1)+λ2(MY(r*)-1)+Dr*2］}. (7)
上述函数对一切z和t皆满足方程(4)，再由条件(7)可导出r与r之间的一个关系式
-ar-λ1MX(r)-Dr2-λ2MY(-r)=ar*-λ1MX(-r*)-Dr*2-λ2MY(r*).(8)
以下以R表示(8)式中相应于r=R的r之值，由于
λ1［MX(R)－1］+λ2［MY(－R)－1］+DR2=0.
由方程(8)知，R是下述方程的非平凡解
λ1［MX(-r*)-1］+λ2［MY(r*)-1］=aR+ar*-Dr*2.(9)
当r=0时，上式左端小于右端，再由于左端是凸函数，右端是开口向下的二次函数，方程(9)恰有2个解：平凡解r=－R及正解r=R.在(7)中取r=R,r=R，则函数υ(z,t)满足(4)和(6)，故υ(U(t),t)为鞅.
3 主要结果
定理3.1 风险模型(3)的破产概率ψ(u,b)满足：
ψ(u,b)=e－Ru{1+RRexp［－(R+R)(b－u)］}E{［e－RU(T)+RRexp［－(R+R)(b+aT)+RU(T)］T
e－Ru{1+RRexp［－(R+R)(b－u)］}.(10)
证明 设X(t)=exp(－RU(t))+RRexp［－(R+R)b］exp{RU(t)－
t［λ1(MX(－R)－1)+λ2(MY(R)－1)+DR2］}.
由引理2.3，{X(t)}为一正鞅，对任意固定的t，T∧t为有界停时，有
E［X(T∧t)］=E［X(0)］=e－Ru{1+RRexp［－(R+R)(b－u)］}.
由全期望公式可得
E［X(T∧t)］=E［X(T∧t)T≤t］Pr{T≤t}+E［X(t)T>t］Pr{T>t}.
在上式两端令t∞，由单调收敛定理与Lebesgue控制收敛定理知
e－Ru{1+RRexp［－(R+R)(b－u)］}=E［X(T)T
由于limt∞U(t)=+∞,a.s.故X(∞)=0,a.s.，进而推得
ψ(u,b)=e－Ru{1+RRexp［－(R+R)(b－u)］}E{e－RU(T)+RRexp［－(R+R)(b+aT)+RU(T)］｜T＜∞}≤
e－Ru{1+RRexp［－(R+R)(b－u)］}.
定理3.2 风险模型(3)的生存概率Φ(u,b)满足积分-微分方程
D2Φu2+aΦb+λ1∫u0Φ(u－x,b)dF1(x)+λ2∫+∞0Φ(u+y,b)dF2(y)－(λ1+λ2)Φ(u,b)=0,
0≤u≤b.
且满足边界条件
Φ(0,b)=0,Φu|u=b=0,limu∞Φ(u,b)=1,limb∞Φ(u,b)=Φ(u).
证明 在很小的时间区间(t,t+Δt)内，分以下4种情况来考察Φ(u,b).
1)在(t,t+Δt)内，没有保费收入，也没有理赔发生；
2)在(t,t+Δt)内，没有保费收入，有1次理赔发生；
3)在(t,t+Δt)内，有1次保费收入，没有理赔发生；
4)在(t,t+Δt)内，至少有2次以上的保费收入（理赔发生），或有1次保费收入，1次理赔发生.由全概率公式有
Φ(u,b)=(1－λ1Δt)(1－λ2Δt)E［Φ(u+σW(Δt)),b+aΔt］+
λ2Δt(1－λ1Δt)E∫+∞0Φ(u+y+σW(Δt),b+aΔt)dF2(y)+
λ1Δt(1－λ2Δt)E∫u0Φ(u－x+σW(Δt),b+aΔt)dF1(x)+o(Δt).
利用泰勒展示及Φ(u,b)具有可微性，有
E［Φ(u+σW(Δt)),b+aΔt］=Φ(u,b+aΔt)+(D2Φu2+aΦb)Δt+o(Δt),
代入化简得
Φ(u,b)=Φ(u,b+aΔt)+(D2Φu2+aΦb)Δt－(λ1+λ2)ΔtΦ(u,b)+
λ2Δt(1－λ1Δt)∫+∞0Φ(u+y+σW(Δt),b+aΔt)dF2(y)+
λ1Δt(1－λ2Δt)E∫u0Φ(u－x+σW(Δt),b+aΔt)dF1(x)+o(Δt).
两边同时除以Δt，并令Δt0得
D2Φu2+aΦb+λ1∫u0Φ(u－x,b)dF1(x)+λ2∫+∞0Φ(u+y,b)dF2(y)－(λ1+λ2)Φ(u,b)=0.特别地，如果u=b，运用上面的方法有
D2Φu2+aΦu+aΦb+λ1∫u0Φ(u－x,b)dF1(x)－λ1Φ(u,b)=0.
比较上面两式可得边界条件Φu|u=b=0.再由(10)得limu∞Φ(u,b)=1，边界条件Φ(0,b)=0，limb∞Φ(u,b)=Φ(u)显然成立.
参考文献:
［1］ GRANDELL J.Aspects of risk theory［M］.New York:Springer-Verlag,1991.
［2］ GERBER H U. 数学风险论导引［M］.成世学,严颖,译.北京:世界图书出版发行公司,1997.
［3］ 成世学.破产论研究综述［J］.数学进展,2002,31(5):403-422.
［4］ 方世祖，罗建华．双复合Poisson风险模型［J］．纯粹数学与应用数学，2006，22(2)：271－278．
［5］ 杨善朝，马，谭激扬．保险费随机收取的风险模型［J］．经济数学，2004，21(1)：1－5．
［6］ 钟朝艳，何树红，黑韶敏．古典模型的一个推广［J］．云南民族大学学报:自然科学版，2006，15(1)：25－27．
［7］ DUFRESNE F,GERBER H U. Risk theory for the compound Poisson processes that is perturbed by diffusin［J］.Insurance:Mathematics and Economics.1991,10:51-59.
［8］何树红，赵金娥，马丽娟．带干扰的双复合Poisson风险模型的破产概率［J］．吉首大学学报:自然科学版，2005，26(3)：43-45．