与时俱进学切线

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中学生学习切线大致分为两个阶段：首先，在初中学习直线与圆的位置时定义圆的切线；然后，在高中学习导数时，结合导数的几何意义给出一般曲线的切线定义。由于先入为主，学生对“切线和曲线只有一个公共点”等的认识根深蒂固，以至于影响了对切线的深刻理解。本文笔者结合具体实例，欲纠正一些错误观点，帮助学生重新确立切线的概念。

一、切线不一定与曲线仅有一个公共点

例题1已知曲C：y=3x4-2x2-9x2+4。（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线l的方程；（2）l与曲线C是否还有其他的公共点？若有，请求出来；若没有，请说明理由。

解：（1）把x=1代入曲线C的方程，得y=-4，切点为P（1，-4）。y'=12x■-6x■-18x，切线的斜率k=y'■=12-6-18=-12。故切线l的方程为y+4=-12（x-1），即y=-12x+8。

（2）由y=3x■-2x■-9x■+4y=-12x+8，得3x■-2x■-9x■+12x-4=0，即（x-1）■（x+2）（3x-2）=0，x=1，-2，■代入y=3x■-2x■-9x■+4，得y=-4，32，0所以，切线l与曲线C的公共点为Q（1，-4），M（-2，32），N（■，0）。其中切点为Q（1，-4），除此之外，还有两个交点M（-2，32），N（■，0）。

点评：本题中曲线C的切线与曲线C有三个公共点，除了切点外还有两个交点M和N。这与初中所学的“切线与圆有且只有一个公共点”不同。

二、曲线不一定位于切线的一侧，即使在切点处切线也可能穿过曲线

例题2（2007年湖南高考数学试题）已知函数f（x）=■x■+■ax■+bx在区间-1，1），（1，3内各有一个极值点。（Ⅰ）求a■-4b的最大值；（Ⅱ）当a■-4b=8时，设函数y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线为l，若l在点A处穿过y=f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数y=f（x）的表达式。

解：（I）（略）。（II）由f'（1）=1+a+b知f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程是y-f（1）=f'（1）（x-1），即y=（1+a+b）x-■-■a。因为切线l在点A（1，f（x））处穿过y=f（x）的图象，所以g（x）=f（x）-（1+a+b）x-■-■a在x=1两边附近的函数值异号，则x=1不是g（x）的极值点。而g（x）=■x■+■ax■+bx-（1+a+b）x+■+■a，且g'（x）=x■+ax+b-（1+a+b）=x■+ax-a-1=（x-1）（x+1+a）。

若1≠-1-a，则x=1和x=-1-a都是g（x）的极值点。

所以1=-1-a，即a=-2，又由a■-4b=8，得b=-1，故f（x）=■x■-x■-x。

点评：本题中曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线穿过y=f（x）的图像（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧）。这与初中所学的“圆只能位于切线的一侧”不同。

三、过曲线上一点不一定只有一条切线

例题3（2004年重庆市高考题）已知曲线y=■x■+■，则过点P（2，4）的切线方程是______。

解：设切点为M（x■，y■），y'=x■，以M为切点的切线方程为y-y■=x■■（x-x■），又y■=■x■■■+■，且切线过点P（2，4），4-（■x■■+■）=x■■（2-x■），即x■■-3x■■+4=0，（x■+1）（x■-2）■=0，解得x■=-1或x■=2，故切点为M（-1，1），P（2，4），分别以它们为切点的切线方程是x-y+2=0，4x-y-4=0。

点评：本题中的P点在曲线y=■x■+■上，而过点P（2，4）的切线有两条，一条以它为切点，另一条过点P（2，4），但切点为M（-1，1）。这与初中所学的“过圆上一点有且只有一条切线”不同。

四、过曲线外（即不在曲线上）一点不一定只有两条切线

例题4已知曲线C：y=3x-x■及点P（2，2），求过点P的切线方程。

解：设切点为M（x■，y■），则y■=3x-x■，又y'=3-3x■，切线的斜率k=3-3x■■，于是切线方程为y-y■=（3-3x■）（x-x■），将y■=3x■-x■■及P点坐标代入，得2-（3x■-x■■）=（3-3x■■）（2-x■），即（x■-1）（x■-1）■-3=0，解得x■=1±■或x■=1。故过点P的切线方程为y=2或y=（-9±6■）（x-2）+2。

点评：本题中的点P不在曲线C上，而过点P的切线有三条。这与初中所学的“过圆外一点有且只有两条切线”不同。

学习是一个循序渐进的过程。任何概念的形成都不可能一次完成，往往需要经历一个或几个螺旋式上升的阶段。只要不停滞、不懈怠，勤于思考，与时俱进，就能提高水平，将数学学会、学透、学好。

【责编 张伟飞】