浅谈矩阵对角化
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内容摘要:本文对矩阵对角化做了一些概括和分析,并结合几个典型的应用实例列举了对角化矩阵的应用,反映出可对角化矩阵在某些问题的研究中所起的重要作用。
关键词:线性代数;矩阵;对角化;应用
中图分类号:O13 文献标识码:A
线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程,它具有较强的抽象性和逻辑性,是高等学校工科各专业的一门重要的基础理论课,它对培养一个人的逻辑思维能力、抽象思维能力、计算能力、推理能力都起着非常重要的作用。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域,而某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题,因此线性代数中的矩阵所介绍的思想和方法广泛应用于各个学科,尤其在计算机日益普及的今天。
一、矩阵的对角化
在“线性代数”中,我们知道根据方阵A的多项式f(A)=0,往往可以较容易地求得A的特征值取值范围,但A的每个特征值的重数,A是否可以对角化却不得而知。例如A2=A,A特征值的取值范围为0,1;我们可以证明A可以对角化;同样A2=E,A特征值的取值范围为1,-1;A也可以对角化。但A2=0,A≠0时,A的特征值均为0,A却不能对角化。本文将给出f(A)=0时,A可以对角化的一个充分条件。
为了叙述方便起见,下面先给出两个著名的关于的矩阵秩的结论作为引理。
引理1:设A,B均为n阶方阵,则:
秩(A+B)≤秩(A)+秩(B)
引理2:(Sylvester公式)设A,B均为n阶方阵,则:
秩(A)+秩(B)≤n+秩(AB)
从线性代数原理我们可以得到很多关于Sylvester定理的证明方法。反复应用Sylvester定理,进一步可证得Sylvester定理更一般的形式,即
引理3:设A1,A2…As均为n阶方阵,则:
秩(A1)+秩(A2)+…+秩(As)≤(n-1)n+秩(A1,A2…As)
命题1:设A为n阶方阵,A2=A,则A可以对角化。
命题2:设A为n阶方阵,A2=E,则A可以对角化。
可得到下面2个结论。
设A为n阶方阵,λ1≠λ2,且(A-λ1E)(A-λ2E)=0,则A可以对角化。
设A为n阶方阵,λ1λ2…λs两两互不相等,使得:(A-λ1E)(A-λ2E)…(A-λsE)=0则A可以对角化。
例1:设n阶方阵A满足A3-5A2+6A=0,则A可以对角化;并且
秩(A)+秩(A-2E)+秩(A-3E)=2n
证明:由A3-5A2+6A=0可得A(A-2E)(A-3E)=0
从而可知:A可以对角化;并且秩(A)+秩(A-2E)+秩(A-3E)=2n
另外还有一种方式,即在可对角化的前提下要确定矩阵所相似的对角矩阵,关键是确定其特征值及其重数。
若,
即λ=0是A的n-1重特征值,λ=βTα是A的单非零特征值。此时A满足定理条件,故A相似于对角矩阵,其中0的个数为n-1个。
类似地,若n阶矩阵A的秩r(A)=n-1(n≥3),则r(A*)=1,于是当A11+A22+…Ann=0时,A*有n重特征值0,其对应的线性无关特征向量取为A的n-1个线性无关的列向量ξ1,ξ1…ξn-1,故A*没有n个线性无关的特征向量,因此A*不能对角化。而当A11+A22+…+Ann≠0时,A*有n-1重特征值0及单非零特征值A11+A22+…+Ann≠0,此时A*满足定理条件,所以A*相似于对角矩阵diag(0,…,0,A11+A22+…+Ann),其中0的个数为n-1个。
二、对角化矩阵的应用
可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵,在理论上和应用上都有着十分重要的意义,例如求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、在向量空间、线性变换等方面都有应用。
下文笔者结合实际问题的应用实例。
例2:有甲、乙两个地区,甲地每年有30%的人迁入乙地,乙地每年有20%的人迁入甲地,设甲地人口60万,乙地人口40万,且两地区总人口保持不变,问5年后甲地及乙地人口分别是多少?经过很长时间后,两地人口的分布是否会趋于一个“稳定状态”?
解:第一年后,甲地人口0.7×60+0.2×40=50;
乙地人口0.3×60+0.8×40=50
我们可以把上面的计算写成矩阵的乘积,
即 ,记
那么第5年后两地人口可由A5x给出,为计算出A5,我们先将A对角化,矩阵A的特征值为1和1/2,它们对应的特征向量分别为[2,3]T和[1,-1]T
令,则 ,可得
所以,5年后甲地有40.625万人,乙地有59.375万人。n年后两地人口由Anx给出,
为得到经过很长时间后的人口分布情况,我们取n∞时的极限,
因此,经过很长时间后,两地人口的分布会趋于稳定,且甲地有40万人,乙地有60万人。
参考文献:
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[3]李尚志.线性代数精彩应用案例(之一)[J].大学数学,2006,22(3):1-8
[4]黄毅.广义正定矩阵的研究[D]电子科技大学,2003
作者简介:
刘磊(1988- )男,回族,天津人,西北民族大学数学与计算机科学学院。