“预学后教”在“探究规律”类课堂教学中的新尝试

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“探究规律”是小学数学中一个比较特殊的学习内容。主要是指在一定的情境下，对一个或一组数学现象进行观察分析，从“变化”的现象中发现“不变”规律的一种数学学习内容。在教材中它有两种存在形式：一是以单元形式存在的，如人教版中的“数学广角”“运算定律”等；二是渗透在各个单元中的专题，如积的变化规律、商的变化规律等。不论是哪一种形式，就内容的教学过程而言，其目的不仅在于通过探究获得“结论”，更重要的是在探究过程中学习探究的经验与探究的策略。因此，笔者认为，“探究规律”类课的教学，要为学生提供合理的素材，让学生在独立思考、自主探究的基础上，通过小组交流、集体反馈的形式总结规律，并从策略的迁移与规律的应用两个方面组织进一步的学习。“预学后教”的教学策略可以实现这样的教学。下面以“商的变化规律”的教学为例，阐述具体的做法。

一、独立思考，观察验证形成初步结论

小学数学中探究的“规律”，一般是一些简单的现实问题或数学现象。如人教版一下的“找规律”，它的观察素材就是一些按照一定规律排列的“实物”、“图形”或“数字”。如下图，用小棒摆成的“正方形”与“三角形”是半抽象的图形，从左往右看可以看出它们重复变化的规律。下面填写的数，则表示小棒的根数，同时也可以独立地看成抽象的数，通过观察又可以发现数的重复变化的规律。这样的情境与问题适合于一年级学生的思考与推理。随着年级的升高，学生学习经验的积累，情境可以变得更加复杂与抽象、问题可以变得更加富有挑战性，从而可以让学生经历一个更加完整的观察与分析、抽象与概括的过程。

四上的“商的变化规律”，是在学生已经学习了表内除法、除数是一位数、两位数除法之后教学的，而且之前又有了研究“积的变化规律”的学习经验。如何让学习基础与活动经验得到自然地流露？教师可以让学生通过“预学”作业，引导学生通过观察形成猜想，再进一步举例验证猜想。具体的预学作业设计如下：

“商的变化规律”预学单

同学们已经在第三单元学习过积的变化规律，那么商的变化规律是怎样的呢？试着完成预学案，然后我们一起来交流。

1.我口算；

2.我猜想： 观察左边的口算题，我猜想……

200÷2= 60÷20 =

200÷20= 60÷10 =

200÷40= 60÷2 =

3.我验证：根据我的猜想，填一填，算一算，我觉得……

上面的一组题目，学生在课始用5分钟左右时间独立完成。

对“商的变化规律”的探究，是培养学生的数感、渗透函数思想的重要契机。与教材例题相比较，把学习素材再往回退了一步，即把例题中的框架式还原为相互独立的口算题，让学生在计算的过程中，自然地进行抽象概括，提出猜想。

就小学而言，学生探究规律的主要方法是不完全归纳法。严格意义上讲，这样得到的规律还只是一种猜想，需要通过严格的证明才可以成为一般的规律。但是，根据小学生的思维水平，验证的策略往往是列举更多的例子，虽然这样的验证方式不能形成严格的证明。并且，由于学生认知水平与观察角度的不同，不同的学生提出的猜想会不尽相同，从而形成了真实丰富的学习资源。

二、交流反馈，互助完善总结数学规律

独立思考，自主预学，充分展示了每一位学生的认知情况。教师通过巡视，收集学生中的一些典型做法，组织学生小组交流，在辨析的过程中，完善原有的做法，进而总结出规律，这就是“探究规律”“预学”之后的“教”的策略。

（一）收集典型例子

学生在预学过程中发现的“规律”，基本上都带有个体的、主观的色彩。对于这些“规律”，教师不是指名让个别学生发表意见，或直接小组讨论，而是展示教师在巡视中收集到的几种典型例子，要求这几位学生把过程抄录在展示的题板上。用题板展示学生的作业，张贴于黑板上，这样既有利于比较评价，也可以作为教学板书。

收集的典型例子一般可分为错误的、不完善的和基本正确的三类。预学作业放在课前，会有比较充足的筛选时间，如果在课内，就需要教师在课前有充分的预设，大致推测学生会有哪些不同的规律，不同规律可能会在怎样层次的学生中出现，使得学生在独立作业的过程中，教师能够尽快地寻找到相应的例子。

（二）辨析典型例子

学生在独立尝试探究规律时所形成的差异资源，抽取其中的典型例子进行展示，并且作为小组讨论辨析的题材。这样，小组交流更加具有针对性，也有利于集体反馈时有共同的话题。

如在“商的变化规律”教学中，笔者选择了三则典型的例子（如下图），请四人小组进行辨析：每一位同学在小组中说一说，你的想法与哪一种猜想相近，你是怎样想的？再共同讨论，哪一种猜想更加准确？你们是不是还有其他更好的发现？最后在小组中讨论，把最合理的猜想用具体的例子进行说明，并写在展板上。

（三）反馈讨论结果

社会建构主义认为，虽然知识学习是个体主动建构的过程，但这种建构也不是随意的建构，而是需要与他人磋商并达成一致来不断地加以调整和修正。组织小组辨析与集体反馈，为学生创设在教师组织参与下的相互交流讨论的机制，建构起凝聚着师生共同智慧的数学“规律”。

集体反馈时，以小组为单位，可以请一位代表发言，也可以请多位同学相互合作表述。如对于“商的变化规律”的三个例子，其中的一个小组由两位学生合作完成他们组的阐述。

生：我们组认为，这三种猜想都有道理，只是第一种说法还不够准确，第二种与第三种说法意思是相同的，但第三种把两句话合到了一起，更好一点。我们举的例子是（如下图）……

这时又上来了同组的两位学生，一位学生表述相应箭头间两个数的变化情况，一位学生指点辅助。

由于小组交流的题材相同，更加容易引起同学间的共鸣。填写的数可能是不同的，学生在听完这个小组的讲述后，用自己所列举的例子进行验证。规律就在这样的评述中得到了明晰。

三、策略迁移，积累经验发现数学规律

《数学课程标准（2011年版）》在课程总目标中明确地提出了基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验这样的“四基”学习目标。“探究规律”类的学习过程，更需要强调后两个目标的达成。需要教师在引导学生探究出规律之后，进一步创设情境，让学生把在探究规律中所获得的学习经验在新的情境中加以检验，逐步形成更加一般的数学活动经验。

如在上述“商的变化规律”的案例中，学生之所以能够比较好地发现“当被除数不变时，除数与商的变化规律”，得益于在探究“积的变化规律”中积累的经验。在此基础上，学生进一步研究商的其他两种变化规律时，可以以小组为单位，分工合作，应用前面积累的经验再一次经历“举例―猜想―验证―结论”这样一个探究发现的过程（如下图）。

4.我有新猜想

根据“我猜想”，在下面填上合适的数。再观察，我有新猜想……

上面的“预学”作业，先在组内分工完成，相互交流，再在班级中反馈。

数学活动经验积累的成功与否，需要在数学活动的背景下加以检验。上面的两个问题，笔者把研究的起点又往回退了一步，只提供两个模型，让学生依据之前的学习经验，自己填写数据，观察思考，概括出规律。

四、推广应用，充分发挥数学规律的价值

对于“探究规律”类课的练习设计，不仅要关注“规律”的充分应用，使学生体会到“规律”的价值，加深对“规律”的理解；还要关注“规律”探究过程中积累的经验再应用，使学生能够自主地发现更多的“数学规律”。基于这样的目标，在“商的变化规律”的练习设计时，教师可以安排如下三个层次的练习。

第一层次：规律的简单应用

1.从上到下看，根据第1题的商，写出余下两题的商。

64÷8=8 6300÷7=900 100÷25 =4

640÷8=80 6300÷70= 200÷50 =

6400÷8= 6300÷700= 1000÷250 =

以小组为单位，先独立完成，然后在小组中进行交流，说明理由。然后以小组为单位进行汇报。

第二层次：规律的自觉应用

2.选择合理的方法计算出下面各题的得数。

120÷30= 5600÷80= 65100÷210= 65200÷210=

学生独立完成，校对答案时要求学生说出思路与依据。

第二组题目与第一组题目相比，更加注重对“商的变化规律”的自觉应用，在计算方法的选择上，留有一定的空间，前面的两个题目，学生可以应用“商的变化规律”进行口算，第3、4题则需要选择竖式计算，且第4题要关注简算后余数如何处理，可以在一般竖式与与简算竖式的比较中理解简算后余数的特征。

第三层面：探究新的规律

3.在下面的方格中填上合适的数，并推测在减法中“差的变化规律”。

在四人小组中合作学习。组内分工，每位学生研究其中的一种规律，然后在小组中分享成果，再以小组为单位集体交流小组合作的成果。

数学是研究数量关系与规律的科学。“探究规律”的学习方式，也隐含在其他数学内容的学习过程中，如图形面积计算公式的推导、计算法则的总结等等。因此，对于“预学后教”为基本特色的“探究规律”类的研究与实践，对于体现“学为中心”的课堂教学有着积极的意义。

（浙江省杭州市萧山区教育局教研室 311200）