谈“画函数y=|x|图象”的例题教学

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人教版高中数学必修一第一章第二节“函数表示法”有如下例题：画出函数y=x的图象. 教材解答如下：由绝对值的概念，我们有y=x，x≥0，-x，x＜0，所以，函数y=x的图象如图所示（图略）．

教材这样处理的目的有三个：一是让学生根据函数解析式画出图象；二是引出分段函数模型；三是让学生体会数形结合数学思想在理解函数中的重要作用．

函数有解析法、图象法、列表法三种表示方法．通过本节教学，让学生了解三种表示法各自优缺点的基础上，重点使学生在处理实际函数问题时，会根据不同的情境选择恰当的方法表示函数并解决问题．而本例则突出强调了函数解析式与函数图象之间的转化，掌握这两者之间的转化是运用数形结合数学思想分析、解决函数问题最重要的基础．

对于本题的第二个教学目的，则是通过实例引出分段函数的模型．确实，分段函数是一类十分重要的函数，但由于其函数解析式分段给出，这对学生学习分段函数带来了较大的难度．为此，教师在处理教材时应尽可能让学生感受到分段函数在解题过程中的独特作用，为进一步学习分段函数打下扎实的基础．

所以，为使本例的教学目的得以真正落实，笔者处理如下：

一、 提炼函数y=x的画图方法

方法一：分段函数法（参见教材）；

方法二：对称性法． 此方法的提出是告诉学生，分段函数法并不是解决含绝对值函数图象问题的唯一方法，也不一定是解决此类问题最优化的方法． 为此，教师应根据具体教学要求，紧紧抓住良好教学契机，充分利用教材现有素材，帮助学生掌握解决问题最基本、最常用的重要方法．

对于对称性法，可设f（x）=x，通过观察引导学生得出f（-x）=f（x），即当函数的自变量互为相反数时，其函数值相等． 所以与函数y=x的图象相比，要得到函数y=x的图象，只需将函数y=x在x轴下方部分的图象以x轴为对称轴对称地翻到x轴上方即可． 显然函数y=x的图象有对称轴即y轴．

上述两种方法都能较好地解决这一例题．方法一基于学生原有的基础，所以就学生的思维特征看，这一方法思路自然，可操作性强． 方法二基于函数图象的变换，这对学生来讲是一个全新的课题，但从函数教学要求看，这一方法的掌握无疑是十分重要的．因为函数的教学大致可分为函数概念、函数图象、函数性质与函数应用等四大块内容，而在函数图象的教学中函数图象变换（一般指平移、对称、伸缩等三类情形）又占有十分重要的地位． 所以方法二的提出在为学生学习函数图象变换打基础的同时，也在为合理运用数形结合数学思想解决问题作好铺垫．事实上，这两种方法共同的本质特征是利用化归与转化的数学思想，将含有绝对值的函数图象问题转化为不含绝对值的数学问题，从而达到降低问题难度的目的．

二、 剖析画出函数y=f（x）图象的方法

学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习． 数学教育的目标之一是让学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，体会蕴涵其中的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用． 作为教师，应合理、灵活地处理教材，顺势启导，充分调动学生学习的主动性，帮助学生掌握解决问题的通性通法，提高观察问题、分析问题、解决问题的能力．

变式1：画出函数y=2x-1的图象．

显然，对于形如y=kx+b（k≠0）的函数图象，分段函数法和对称性法都能较为便捷地画出，相对而言，学生之前刚刚习得的对称性法更受大多数学生的青睐．

变式2：画出函数y=x2-2x-3的图象．

对于上述变式，若用分段函数法，如何分段？分段之后如何作图？这些问题都会让一些学生感到为难．所以，对于变式2，对称性法很自然地成为学生解决问题的首选方法．

至此，要画函数y=f（x）的图象，一般有分段函数法和对称性法两种方法．相对而言，对称性法更具优越性．

但事实上，任何解决问题的方法都有其优点，也一定有其不足之处． 如果本例的处理到此为止，则对于含有绝对值的函数图象问题，学生会片面地认为对称性法比分段函数法更好． 如果一旦让学生形成这样一种先入为主的思维定势，对学生今后较好地全面掌握含绝对值的函数图象问题会带来很大的负面影响，同时也势必影响学生对数形结合数学思想的正确理解与合理运用． 所以作为教师有必要继续启发、引导学生进一步数学地提出问题，并寻求解决问题的针对性策略．

三、 探究函数y＝x-a±x-b（a＜b）的图象画法

形如y=f（x）的函数图象画法的顺利解决，已让学生在课堂上感受到取得成功的喜悦，但这仅仅是含有一个绝对值的函数图象问题． 如果此时能在教师适度、巧妙的启发下，让学生提出并解决含有两个绝对值的和或差的函数图象问题，则该例题在知识上、方法上的教学功能将会得到更大程度的发挥． 同时相信这样极富挑战性问题的提出，一定会引起学生极大的学习兴趣，激发学生的学习激情，从而在课堂上产生师生之间、学生之间思维的激烈碰撞和强烈共鸣，达到高效课堂的理想效果，而这正是我们教师所孜孜追求的．

问题：画出函数y=x-a+x-b（a＜b）的图象．

前面已经给出的解决含有绝对值函数图象问题的两种方法，就其本质是去绝对值． 正是对这一本质特征的正确剖析与把握，启导学生选择分段函数法解决新问题，并在新问题解决的过程中，分段函数这一新型函数模型得到潜移默化的巩固．

利用分段函数法，由a＜b得

y=-2x+a+b， x≤a，b-a， a＜x＜b2x-a-b， x≥b.，其图象如图1所示．显然图象具有对称性，对称轴为直线x=．

同理可得，当a＜b时，函数y=x-a-x-b，y=a-b， x≤a，2x-a-b， a＜x＜b，b-a， x≥b的图象如图2所示．显然，图象也具有对称性，对称点为（，0）．

通过上述问题的探究，学生会在原有的基础上重新认识含有绝对值的函数图象问题，并能实实在在感受到解决问题的不同方法本没有好坏之分，关键是如何根据实际问题，选择最优化的方法去分析、解决问题，逐步形成辩证地思考问题的良好习惯．

因此，为求得课堂教学的高效性，让学生学得清楚，学得有兴趣，教师必须钻进教材，沉得下去，理清知识发生的本源，把握教材中最主要的、最本质的东西．只有这样，才能在教学中不断地去捅破问题与方法之间的一层纸，才能让学生真正从问题中感悟和提炼出最具本质的知识和方法，从而不断提高学生的数学素养．

四、 链接高考真题，彰显方法魅力

在有关函数图象的实际考查中，一般很少直接要求学生画出某一函数的图象，但只要巧妙命制试题，同样能够达到考查函数图象的目的．

例1 设函数f（x）=x+1+x-a的图象关于直线x=1对称，则a的值为（ ）．

A. 3 B. 2 C. 1 D. -1

例2 已知t为常数，函数y=x2-2x-t在区间［0，3］上的最大值为2，则t= ．

例3 已知函数f（x）=x2+4x-1+1，求当k为何值时，方程f（x）=k有三个实数根．

滴水藏海． 在教材中有许多经典的例题，蕴涵着丰富的基础知识、基本思想和方法． 所以在教学过程中，为切实减轻学生过重的学业负担，追求清楚、高效的课堂生活，就应针对这些典例，舍得化时间去研究，值得浓墨重彩去落实，层层推进，环环相扣，必定引人入胜，精彩纷呈，真正达到落实基础知识、提炼基本方法、培养基本能力、渗透基本思想的教学目的．