立体几何教学的“虚”与“实”

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最近在立体几何教学中，笔者发现很多同学对立体几何中的点线面的关系处理起来很困难，教师讲得津津有味，但学生听着是天花乱坠，一头雾水。认真分析一下原因，是因为教师和学生对几何体的感知出现了差异，教师在讲课时他的脑子里面是有这个几何体的，而学生在教师讲课时，脑子里面什么都没有，这必然造成学生认识上的偏差。

怎样解决以上问题？我思考了很长时间，我认为最重要的是要让学生和教师建立在同一个思维空间，让学生也能想到这个几何体，要让学生有能触摸到的感觉，教师若能长期这样开展立体几何教学，我相信一定会培养好学生的空间想象能力。

几何画板作为一款非常优秀的教学辅助软件，可以很好地解决上面的问题。教师如果能灵活运用，不仅可以降低学生的思维维度，提高课堂的效率，而且还能把抽象的空间想象问题转化为具体的实际问题，让学生感受到生活中的变化的无规律性和规律的统一性。下面我用球的内接问题来阐述我的观点。

一、直棱柱外接球问题

1.正方体外接球

问题提出：知道正方体的边长为a，求它的外接球的半径。

问题分析：易知正方体和球都是对称的图形，那么正方体的体的中心就应该是球的球心，正方体的体对角线AC′就是球的直径，用几何画板作出图形如图1。通过图形让学生感知了这个事实，学生也更会接受这个事实，从而使学生在掌握知识的牢固性和提高数学的兴趣性上面都有了很大的提高。

2.长方体外接球问题

有了刚才的球的内接正方体知识的铺垫，我们很容易解决球的内接正方体问题。如：已知长方体的长为a，宽为b，高为c，求它的外接球的半径。

问题分析：长方体也具有对称性，它的体对称中心也是球的球心，那么要求出球的直径，就只要求出长方体的体对角线的长度，所以有2R=，作出图2帮助学生更容易理解。

3.底面是直角三角形的直棱柱外接球问题

这个问题可以变式地看成是在长方体中沿着面A′C切去一半得到的图形（图3），解法等同长方体外接球的解法。

4.底面是正三角形的直棱柱外接球问题

问题提出：已知底面是边长为a的正三角形，高为h的直三棱柱ABC-A′B′C′，求它的外接球的半径。

问题分析：底面是正三角形的直棱柱也是一个高度对称的几何体，它的体对称中心也必然和球心重合。

解决问题：O′是正三角形A′B′C′的中心，

O′C′=a×sin60°，又OO′=h，OC′。

二、正四面体的外接球问题

正四面体可以看成是正方体切割而成，所以能解决正方体外接球问题就一定能解决正四面体外接球问题，图形的演变过程与下：

这类问题都有一个共同的特点，就是具有对称性，我们教师若能在教学时抓住这点，把正方体的外接球问题解决好，后面几个问题只要能够借助信息技术画出图形，降低学生的思维维度，把学生认为比较“虚”的几何体“实”体化，这样的数学课堂不仅有趣，而且还会让学生触类旁通地理解了问题的本质。

（作者单位：福建省沙县金沙高级中学）