论数学之美

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一、数学的对称美

“对称”实在是一件不容易发生的事，因为自然界的现象，人类觉得它有对称，一方面是很自然的，一方面以要追求它的准确性。自然是否呈现“对称”曾被历史上的哲学家们长期地争论过。（杨振宁）

对称的概念源于数学（更确切地讲是欧几里得几何）。对称在天文学（甚至自然界）上的研究，则始于两千多年前的古希腊人。古希腊人十分留意各种“对称”现象，以至于创立了一种学说，认为世界一切规律都是从对称来的，他们觉得最对称的东西是圆，所以他们把天文学中的天体的运行轨道画成圆，后来圆上加圆，逐渐就发展为古希腊后来的天文学。

自然似乎巧妙地利用了对称规律的简单的数学表示，数学推理的内在的优美和出色的完善，以及由此而来的用数学推理去揭示物理学理论的复杂性和深度，是鼓舞物理学家的丰富源泉，人们期望自然界具有人们所希望的规律性。

“对称”在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称多项式等。从奇偶性上或可分解性上区分数也可以视为对称，从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系。“共轭”概念也蕴含着“对称”性，“对偶”关系也可视为“对称”的一种形式。自然对数的产生也是因为受到常用对数的真数与对数的增长不对称（匀称）性的启发而产生的。

在点圆锥曲线上取六个点A、B、C、D、E、F，若A、B连线与D、E连线交于一点P，B、C连线与E、F连线交于一点Q，C、D连线与F、A连线交于一点R，则P、Q、R三点在同一直线t上。

在线圆锥曲线上取六条直线a、b、c、d、e、f，若a、b交点与d、e交点连线为p，b、c交点与e、f交点连线为q，c、d交点与f、a交点连线为r，则p、q、r三线过同一点L。

对称是数学家们长期追求的目标，甚至有时把它作为一种尺度。数学中不少概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的。数学中的对称美除了作为数学自身的属性外，也可以看成启迪人们思维、研究问题的方法。

在其它科学领域很多科学家也是因为坚信宇宙美具有对称性这一特点，作出了许多划时代意义的科学发现。在“五维空间”中存在着我们的宇宙和另外一个“隐藏”的宇宙（对称的宇宙），这个新理论是由美国普林斯顿大学、宾西法尼亚大学和英国剑桥大学的物理学家共同提出的，他们认为：我们的宇宙和一个“隐藏”的宇宙共同“镶嵌”在“五维空间”中，在宇宙早期，这两个宇宙发生了一次碰撞，相撞产生的能量生成了我们宇宙中的物质和能量。

二、数学的和谐美

所谓“数学的和谐”不仅仅是宇宙的特点，原子的特点，也是生命的特点，人的特点。――高尔泰

数学构造了人类智慧的最壮丽的纪念碑。――汤姆森

宇宙概念常常在哲学家脑子里被表现为和谐――因为宇宙是和谐的。庄子、毕达哥拉斯、柏拉图等均把宇宙的和谐比拟为音乐的和谐，比拟为我们听不到的一首诗。德国天文学家开普勒甚至根据天体运行的规律把宇宙谱成一首诗。宇宙的和谐美是思维实践地转化为感觉、理性实践地转化为感性的结果。宇宙的整体，看不见、听不着，但感性动力仍然可以通过知识在宏观尺度上“直观地”把握它。

美是和谐的，和谐性也是数学美的特征之一。和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性。

数学的和谐还表现为它能够为自然界的和谐、生命现象的和谐、人自身的和谐等找到最佳论证。（在人和动物的血液循环系统中，血管不断地分成两个同样粗细的支管，它们的直径之比，依据流体力学原理由数学计算知道，在分支导管系统中，使液流的能量消耗最少。血液中的红血球、白血球、血小板等平均占血液的４４％，同样由计算可知43.3%是液体流动时所携带固体的最大含量。眼球视网膜上的影像经过“复对数变换”而成为视觉皮层上的“平移对称”图像，于是我们看到的是一个不失真的世界，这是千真万确的数学变换，也是奥妙无穷的生命现象的优化。动物的头骨看上去似乎甚有差异，其实它们不过是同一结构在不同坐标系下的表现或写真，这是大自然自然选择和生物本身进行的必然结果。）

差不多任何动物的形状，都可以通过连续（拓朴）变换、变形、扭曲而成为另一种动物的形状。

――苏格兰博物学家汤普森

三、数学的简洁美

数学简化了思维过程并使之更可靠。――弗赖伊

算学中所谓美的问题，是指一个难以解决的问题；而所谓美的解答，则是指对于困难和复杂问题的简单回答。

――狄德罗

在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了。――莫德尔

1.符号美

数学符号节省了人们的思维。――莱布尼兹

符号常常比发明它们的数学家更能推理。――克莱茵

2.抽象美

就其本质而质而言，数学是抽象的；实际上它的抽象比逻辑的抽象更高一阶。――克里斯塔尔

数学家因为对发现的纯粹爱好和其对脑力劳动产品的美的欣赏，创造了抽象和理想化的真理。――卡迈查尔

自然几乎不可能不对数学推理的美抱有偏爱。――杨格

数学虽不研究事物的质，但作为事物必有量和形，这样两种事物如有相同的量和形，便可用相同的数学方法，因而数学必然也必须抽象。

在数学的创造性工作中，抽象分析是一种常用的重要方法，这是基于数学本身的特点。数学中不少新的概念、新的学科、新的分支的产生，是通过“抽象分析”得到的。

数学的简捷性在很大的程度上是源自数学的抽象性，换句话说：数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的，而在对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象更是必不可少的。

３．统一美

天得一以清；地得一以宁；万物得一以生。

――中国古代道家语

数学科学是统一的一体，其组织的活力依赖于其各部分之间的联系。――希尔伯特

某些典型数学思维的美，实际上容易被人欣赏，例如一个干净利落的证明，比一个笨拙费力的证明要美，一个能代替许多特例的简明推广式更为人们所喜欢。――马尔道斯

数学内部及外部的应用包含两个方面：一是数学作为科学方法的效力，一是数学作为科学所应用的统一与美。

――罗伯特