对一道三角函数题的多维度拓展

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高考真题 （2015年高考陕西文科卷第17题）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m=（a，b）与n=（cos A，sin B）平行.

（Ⅰ）求A.

（Ⅱ）若a=，b=2，求ABC的面积.

参考答案 （Ⅰ）由于m∥n，所以asin B-b・cos A=0.由正弦定理得sin Asin B-sin Bcos A=0.

又sin B≠0，可知tan A=.

由于0< A

（Ⅱ）（方法1）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，而a=，b=2，A=，则有7= 4+c2-2c，整理得c2-2c-3=0.

由于c>0，所以c=3.故SABC =bcsin A=.

（方法2）由正弦定理=，可得=，解得sin B=.

由a>b，可知A>B，所以cos B=.于是sin C=sin（A+B）=sin（B+）=sin Bcos +cos Bsin =.

故SABC =absin C=.

变式训练1 在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin A+cos A=2.

（Ⅰ）求A的大小.

（Ⅱ）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b.试从中选出两个可以确定ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC的面积（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案计分）.

变式由来 高考真题以向量知识为背景，进而考查学生解三角形的有关知识.解答第一问时，我们可先利用共线向量的条件将已知转化为边角关系，再用正弦定理将边转化为角，得到角的方程后求角.第二问我们知道两边和一角，然后求三角形的面积，这实质上是解三角形问题.而变式训练1是直接给出边角关系，跟高考真题的本质一样，我们可先利用正弦定理得到角的方程后进行求解，再根据条件解三角形，然后求出面积，这显然都来源于我们平常所做的习题，只是课本习题的变式而已.所以，在平时的学习中，同学们要注意研究高考题的命题规律，分析题目之间的内在联系，注重课本的基础知识，进行有目的的变式训练.这样就能达到由此及彼、触类旁通、举一反三的目的.

解答过程 （Ⅰ）据题意有2sin（A+）=2，即sin（A+）=1.由于0< A

（Ⅱ）方案1：选择①②.

由正弦定理=，可得b=・sin B=2.

由于A+B+C=π，sin C=sin（A+B）=sin Acos B+cos Asin B=，所以SABC =absin C=×2×2×=+1.

方案2：选择①③.

由余弦定理b2+c2-2bccos A=a2，有b2+3b2-3b2=4，则b=2，c=2，所以SABC =bcsin A=×2×2×=.

说明：若选择②③，则由c=b，可得sin C=sin B=>1不成立，故这样的三角形不存在.

变式训练2 已知m=（2sin x，sin x-cos x），n=（cos x，sin x+cos x），记函数 f（x）=m・n.

（Ⅰ）求函数 f（x）取最大值时x的取值集合.

（Ⅱ）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 f（C）=2，c=，求ABC面积的最大值.

变式由来 此题中的函数是以向量为背景给出的，其目的是考查向量的数量积、三角函数的有关性质以及解三角形的知识.讨论三角函数的性质，我们应该先将其化成一角一函数型，这样才能顺利进行解答.平面向量的数量积、三角恒等变换、三角函数的图像与性质、余弦定理、基本不等式等知识在此题中都得到了考查.显然这些都是三角函数基本题型的变式考查，来源于课本的基础知识.同学们只要注重基础知识的理解和变通应用，就能更好地完成这类题目.

解答过程 （Ⅰ）据题意有 f（x）=m・n=・sin 2x-cos 2x=2sin（2x-）.当f（x）取最大值时，即sin（2x-）=1，此时2x-=2kπ+（k∈Z），所以x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}.

（Ⅱ）由于 f（C）=2，由（Ⅰ）得sin（2C-）=1，又0

在ABC中，由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，可得3=a2+b2-ab≥ab，即ab≤3，所以SABC =・absin C≤.

故ABC面积的最大值为.

同题比较

1.（2015年高考山东理科卷第16题）设 f（x）=sin xcos x-cos2（x+）.

（Ⅰ）求 f（x）的单调区间.

（Ⅱ）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 f（）=0，a =1，求ABC面积的最大值.

2.（2015年高考浙江理科卷第16题）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=，b2-a2=c2.

（Ⅰ）求tan C的值.

（Ⅱ）若ABC的面积为7，求b的值.

3.（2015年高考北京理科卷第15题）已知函数 f（x）=sin cos -sin2.

（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期.

（Ⅱ）求 f（x）在区间[-π，0]上的最小值.

4.（2015年高考全国新课标卷一文科卷第17题）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sin Asin C.

（Ⅰ）若a=b，求cos B.

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求ABC的面积.

5.（2015年高考全国新课标卷二文科卷第17题）ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.

（Ⅰ）求.

（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B.

（责任编校 周峰）