《圆与圆的位置关系》教学设计
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〖教材分析〗
《圆与圆的位置关系》是普通高中新课程人教版《必修2》第四章第二节第二课时的内容,是在学习了用坐标法判断直线与圆的位置关系之后的内容,它是解析几何的重要组成部分。
这一节的任务是:用坐标法判断两圆的位置关系,一是把几何关系代数化;二是通过方程的研究判断两圆的位置关系,它是前节内容的延伸与拓展,是圆的知识中必不可少的一部分。本节课涉及到数形结合、方程思想两大数学思想,是培养学生数学思想、训练良好思维习惯的好素材。
〖目标分析〗
一、知识与技能目标
1.理解两圆位置关系的几何特征和代数特征。
2.适用两点间的距离公式求两圆的连心线长。
3.会用连心线长判断两圆的位置关系。
二、过程与方法
1.会用研究方程组的方法判定圆与圆的位置关系。
2.会用圆心距、半径等判定圆与圆的位置关系。
三、情感、态度与价值观
让学生通过观察图形,进一步深化与巩固数形结合思想,领悟以数助形与以形助数相辅相成。
四、教学重难点
教学重点:圆与圆位置关系的判断。
教学难点:用坐标法判断圆与圆的位置关系。
〖学情分析〗
学生在初中已学习了圆与圆的位置关系,在关系分类明确的基础上,结合已学习的直线与圆的位置关系,不难总结出研究两者关系的方法:几何法、代数法。学习过程中力争使学生自我思考、自我总结、交流合作、自主探究。
〖教法学法〗
教法:分层递进、问题式和启发式的教学方法;
学法:自主学习,合作学习,探究学习相结合的学习方法;
教学手段:多媒体辅助教学。
〖教学过程〗
一、教学流程
二、教学环节
1.复习引入
[师生活动]
师:上一节课,我们是怎样研究直线与圆的位置关系的?
生:根据圆心到直线的距离;根据直线的方程与圆的方程组成的方程组实数解的情况。
师:两圆有哪些位置关系?
生:外离、外切、相交、内切、内含。
[设计意图]
既加深学生对所学过知识的理解,又为学生用类比法学习新知识奠定良好的基础。
2.探索应用
[师生活动]
师:出示例3:已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,试判断两圆的位置关系。
方法一:同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆,你从中发现了什么?强调,解析几何是一门数与形结合的学科。
生:尝试在同一坐标系下画出两个圆的图形,观察解决问题――两圆相交。
[设计意图]
培养学生“数形结合”的意识
[师生活动]
师:利用几何法,比较直观,联想到直线和圆位置关系的代数判断方法,如何把这些直观的事实转化为数学语言,用代数的方法来解决几何问题?
生:观察图形,互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,通过图形的直观性,得到解决问题的办法。
方法二:看交点个数――方程组解的个数;
方法三:比较连心线长与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系――两点间距离公式。
学生板演,师指正。
[设计意图]
引导学生从原有的认知结构出发,根据图形变化明确两圆的位置关系,类比直线与圆的位置关系的判断方法,利用圆的方程去判断和解决两圆的位置关系,进一步培养学生解决问题、分析问题的能力。
3.变式提高
[师生活动]
师:思考:在同一坐标系中作出两圆及方程③,你发现了什么?
生:作图,研究发现③式:x+2y-1=0是相交弦所在的直线方程。
[探 索]
通过这条相交弦,我们能否求两个圆的交点?与两个圆相交的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢?――研究得出:可以。
变式练习1:在例3中,用两种方法求相交弦AB的长。
变式练习2:在例3中,求过交点A、B和点M(2,-2)的圆的方程。
[提 示]
方法1:先求两点A、B的坐标,用待定系数法求过三点A、B、M的圆;
方法2:类比过两直线交点的直线系方程,过两圆交点的圆系方程为:(x2+y2+2x+8y-8)+k(x2+y2-4x-4y-2=0),把点M的坐标(2,-2)代入,求得k的值,从而得到圆的方程。
[设计意图]
培养学生化归思想和类比联想能力以及灵活运用知识能力。
4.归纳小结
[师生活动]
师生共同小结。
(1)判断两个圆的位置关系有代数法和几何法,它们的特点是什么?
(2)代数法判断两圆的位置关系可以利用方程组是否有实数根判别式;也可以利用平面直角坐标系的两点间距离公式,判断两个圆的圆心距与两圆半径的关系来判别两个圆的位置。
(3)可以利用两个圆的相交弦来判断两圆的位置关系――三类关系:相离、相交、相切,把两圆的位置关系转化为直线和圆的位置关系。
[设计意图]
回顾本节课,归纳总结,加深理解,巩固学习成果。
5.作业反馈
作业:习题4,2A组:4、7。