用量子力学计算氢原子

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇用量子力学计算氢原子范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘 要：氢原子是最简单的原子，在量子力学建立过程中有着特殊地位，有必要对其进行详细的求解。该论文用量子力学理论，通过求解氢原子在库伦势场中的定态薛定谔方程，得到氢原子的能量及能量本征函数。

关键词：量子力学 氢原子 能量 本征函数

中图分类号：O413.1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）06（a）-0193-01

从17世纪牛顿力学出现以后，直到19世纪，电动力学，热力学和统计力学也陆续被建立，从而形成了一个完整的经典物理学体系。可是，在解决黑体辐射、光电效应等实验时，经典物理学遇到了空前的挑战，需建立全新的理论来解决面临的困难。1900年，普朗克假说在黑体辐射上有新的突破，1905年，爱因斯坦用量子化解释了光电效应，1913年，玻尔建立“玻尔理论”。但玻尔理论具有一定的局限性，十年之后，量子力学体系逐步建立起来，才完全解释了原子问题。而氢原子是最简单的原子。因此，有必要用量子力学的方法对其进行严格的求解。

1 理论计算

氢原子是最简单的原子，它是由一个电荷为的原子核与一个电荷为的电子构成的。如果取无穷远为势能的零点，则质子与电子的库仑势能为V（r）=。则根据定态薛定谔方程可求出氢原子的能量及能量本征函。在以下的计算中，采用自然单位。为方便，给出氢原子的自然单位：长度的自然单位：，能量的自然单位：。氢原子的约化质量为，质子与电子的库仑势能为V（r）=。考虑到V（r）的球对称性，我们采用球极坐标系。而因为[]=0，所以角动量是守恒的，在球极坐标系下，薛定谔方程可表示为：

[]=E （1）

由于的各分量是守恒的，而各分量不对易，则根据简并定理可知能级有简并。是守恒量，且与的每一个分量都对易，因此体系的守恒量完全集可以方便的选为（），方程（1）的解同时选为的本征态，即：

…… （2）

代入式（1），可得出径向波函数满足方程：

=0 （3）

和满足方程：而为的本征值，待定。

对于式（3），若令，则在自然单位下满足：

（4）

r=0，是微分方程的两个奇点。

当时，按照波函数的统计诠释，在任何体积元中找到粒子的概率都应为有限值。因此，求解径向方程（3）时，只有渐进行为是∝的解才是物理上可接受的解。

当r时，我们只限于讨论束缚态（E﹤0），则方程（4）可化为：

（5）

该方程属合流超几何方程。方程（5）在邻域有界的解为合流超几何函数：（6）

当时，无穷级数解～不满足在无穷远处的束缚态边条件。为了得到物理上允许的解，只要等于0或负整数，可以满足这一条件。按式（6）并将其添上能量的自然单位，得出氢原子的能量本征值：（…），其中：。与相应的径向波函数可表示为：～其中（添上长度的自然单位），归一化的径向函数为：，

（7）

对于式（4），在球坐标系下，可表示成：

（8）

将式（7），（8）代入方程（4），并成为勒让德方程得：

（9）

在-1≤≤1的区域内，有两个正则奇点，其余各点均为常数。由此可知，只当（…）时，方程就有一个多项式解，即勒让德多项式：（≤m≤），它在-1≤≤1区域中是有界的，利用正交归一性公式，可以定义一个归一化的部分的波函数（实）：（）。满足。这样，（10）

由此可得，氢原子的束缚能量本征函数为：其中为式（8），为式（11）。

2 结语

本文运用量子理论，求解了氢原子在库伦势场中的定态薛定谔方程，得到了氢原子的能量及能量本征函数：

（1）氢原子的能量为：，其中：…（主量子数）；（2）能量本征函数为，其中：，。

参考文献

[1] 曾谨言.量子力学导论[M].北京：北京大学出版社，1998.

[2] 周世勋.量子力学教程[M].北京：高等教育出版社，1979.

[3] 李钰.一维、二维、三维氢原子能级和电子分布概率[J].广西物理，1998（19）.

[4] 张爱军，耿延珍，吕正山.对氢原子光谱线的讨论[J].大学物理实验，1999（12）.

[5] 罗任远.如何理解量子力学中氢原子的能级[J].赣南师范学院学报，1999（6）.