数学教学中学生错误信息的发现、捕捉及利用
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教学是一个以教学目标为导向、围绕教学内容展开的活动，如果将教学课堂比喻成一个网络，那么学生就是构成网络的一个个节点，是信息的建构者和者。在网络系统的建构和信息的过程中，学生会产生大量的学习信息，其中难免会出现错误信息，这些错误信息同样可以成为供教师使用的有效教学资源，其关键在于教师如何发现、利用这些错误信息，让学生的思维在多元互动中经历从错误到正确、从混沌到清晰，促进数学教学向纵深推进。
一、发现学生的错误认识
学生的错误信息往往是学生思维过程的展示，因此，教师应提供机会让学生充分地表达，并组织学生参与辨错、纠正和提升的过程。
1.发现基础性资源中的“认识偏差”
学生原有的知识基础、学习经验以及思维能力，是教学得以开展的基础性资源。在这些基础性资源中，不乏一些错误信息。教师可以组织活动，使学生的错误信息得以展示，进而使学生感悟自己的错误所在，达到纠误匡谬的目的。在教学“小数乘法”一课前，让学生尝试计算1.6×3，充分展示学生的基础性资源。结果学生中出现了四种典型的做法：（1）1.6+1.6+1.6=4.8，把没学过的小数乘法转化为小数加法来做；（2）1.6×10=16，16×3=48，48÷10=4.8，把小数转化为整数来进行运算；（3）由于受笔算小数加法计算法则（相同数位要对齐）的影响，出现了自己所理解的笔算小数乘法的法则，列竖式时将因数的整数部分对齐；（4）对于小数乘法的运算法则已理解并会运用。方法（3）中学生“相同数位要对齐”的思想是从基础性资源中产生的错误信息，教师可以针对这个问题引导学生讨论、分析，让他们积极参与到教学活动中。
2.发现差异性资源中的“混沌思维”
在一班级中，学生之间存在不同程度的差异，不管是学习能力、理解能力、认知水平还是知识基础都有层次之分，而这些差异同时也是可以供教师使用的教学资源。教学“应用乘法运算定律进行简便计算”时，在新授课结束后，要求学生运用运算定律进行简便计算时，并列出两题：（4×7）×25与（4+7）×25。许多同学都急不可待地高举小手，努力想将自己的想法表达出来。一位男同学站起来说：“（4×7）×25这样算：先将4与25相乘得100，然后100乘7，得700；（4+7）×25这样算：先用4与25相乘，再用相乘的积100加上7，最后得107。”教师面带微笑地对他说：“你说得很好，只是第二题有一个地方没有处理好，有些可惜。”然后教师又对大家说：“他的第二题做错了，为什么老师还说他做得好呢？”学生A说：“因为他善于观察，知道要把4与25相乘，可得到整数。”学生B说：“我想提醒他注意，连乘时应用乘法结合律，和乘一个加数时用乘法分配律。”学生的积极性都得到了调动。
二、捕捉学生的错误信息
由于学生理解能力和认知水平存在局限性，容易出现错误信息，教师要捕捉并巧妙地利用错误信息，将其放到学生中去“集波成浪”，促进课堂教学的动态化。
1.比较中选择
课堂上教师要注意引导学生进行思维发散，为产生错误信息的学生提供发言机会，在大家有趋同倾向的情况下，它能把学生的注意力引向问题的另一面，并延伸出新的信息，进而提高学生的思维能力。在“笔算乘法”的教学当中，学生之前已经可以熟练地进行一位数乘法和整十位数乘法口算，所以会用自己的方法来计算一位数与两位数乘法。例如，21元一本的书如果要买14本需要花多少钱？想到的计算方法有很多：（1）先计算出10本书花多少钱，再计算4本书花多少钱，然后加起来就是所需要的总价，即21×10=210（元），加上21×4=84（元），等于294元。（2）先算14个20元是多少钱，然后计算14个1元是多少钱，最后相加，即14×20=280（元），加上14×1=14（元），等于294元。学生大多采用口算方法计算，此时教师可以以此为基础性资源，引入表1。
学生可以先口算数量为4和10时的价格然后相加得到结果，这是大多数学生采用的方法，教师可以指明这其实就是乘法笔算的过程，由此来激发学生的好奇心和学习欲望。然后，教师顺着学生的思路将笔算方法列举出来，选择有代表性的三种算法在黑板上展示：
这时引发了全班同学的讨论，第一种算法大家都能认同，也有同学补充，加号可以想在脑子里，省略不写。但对于第二、第三种算法，学生的观点不一，教师可以请同学代表具体讲述一下自己的看法。方法（2）中同学在笔算时是把21分成20和1，先算1×14=14，再算20×14=280，然后把14和280相加，最后可得到结果294。相比第一种算法，这种计算方法略有不同，但也合情合理。认为第三种算法是正确的同学，认为笔算时可以把一些步骤记在脑子里，直接写出最后结果。笔者决定尊重课堂的具体行进状态，不为完成预先设定的教学计划而过早地下结论，鼓励学生根据实际情况在比较中选择，以培养创新意识。随即学生又练习了14份水粉颜料、成语词典、削笔器各需要多少钱？随着数据变大，计算也越来越复杂，淘汰第二、第三种算法，选择第一种算法的同学越来越多。课堂教学实践表明，在后续的学习和练习中，学生的计算方法不断调整，并逐渐趋向于最佳方法。学生的思维发散过程就是知识获取的过程，在教学过程中，教师对教学内容的设计要以学生的兴趣为切入点，关注学生的个性化创意，将学生的思维发散过程和成果作为课堂教学资源。
2.冲突中生成
在“小数乘法”的教学中，正式进入教学之前可以通过问题发现学生的学习障碍，然后分析障碍、克服障碍。如先给出题目“3.5乘以17的结果是多少”，学生的计算方法主要有3种：
在学生经过讨论判断出正误后，教师引导学生进行错误原因分析。方法（1）的计算是不正确的，因为计算过程中数位没有对齐，如果进行估算，得到结果肯定要大于28，所以这种方法是不可取的。此时有学生提出方法（2）和方法（3）得到的结果都是正确的，只是多加了小数点，这一点大多数学生都比较赞同。然后又有学生提出，认为方法（2）和方法（3）中小数点的错误是受到了小数加减法的影响，所以这一点错误并不那么简单，两个小数的乘法可以先以整数乘法计算，然后运用因数变化规律来确定积的位数，最后根据因数和乘积的关系确定积的位数。这位学生的想法令人眼前一亮，多么精彩的感悟。在学生不同想法的“冲突”中，不仅生成了教学的资源，而且澄清了原先部分学生似是而非的想法。
三、利用学生的错误信息
在教W过程中，教师不应对学生的错误信息直接矫正，而要顺水推舟，对错误巧妙利用，促使学生深入理解所学知识，突出学生获取知识的思维过程。
1.“个别替代”到“多元互动”
如果课堂上的错误资源由学生而来，讨论由错误而起，那么课堂就会成为学生自觉、主动参与学习的场所。这样的学习氛围会使学生进入“愤悱”的状态，不断激发学生之间的思维交锋。如教学 “不连续进位加”，教师创设超市购物的问题情境，出示商品及其标价，让同桌根据自己的爱好选购两样商品，并计算需要多少钱。其中学生A选择上衣807元和洗衣机934元，并列式笔算。教师让笔算的同学（生A）上黑板展示计算结果并接受同学们的提问。
生1：为什么在个位上写11？生A：因为7+4=11，要写在个位上。生2：把11写在个位上就多了一位数，应该进到十位上。生3：我来提个建议，个位进上来的1可以标在“0”的上面。师：你为什么这样标？生3：我们学习退位减法时也作过类似的记号。生4：我觉得进上来的1写在横线上比较好，因为如果标在0的上面，容易与退位混淆。当学生出现错误时，教师不是自己代替他说，也不是让个别优秀的学生代替他说，而是让同学们各抒己见，在对话中比较、分析，得出大家都认可的方法。这样的教学过程有利于挖掘学生的潜能，点亮学生的智慧之光。
2.“教师控制”到“重心下移”
为了追求教学过程的真正开放和学生思维的清晰，我们强调教学“重心下移”。所谓“重心下移”涉及到两个方面：首先，教学要以学生的需求为出发点和重心，根据学生的需求完成教学设计；其次，教师要尽可能将问题“放下去”，让学生独立面对问题，并设法解决问题，同时引导学生积极参与问题的解决过程。
在“万以内数的退位减法笔算”教学中，教师可以先让学生进行预习，并对退位减法的法则进行讨论、交流，然后要求学生自创题目并进行计算、评价，最后组织学生质疑。其中有一个小组提出这样一道题2031-1641，问：被减数十位上的3减4不够减，就从百位退1，可是百位上是0，直接从千位上退1，结果是390，对吗？这个问题在讲“笔算万以内数的退位减法”第一课时提出，很意外。当然可以告诉学生这个问题可以先放一放，因为“笔算被减数中间有0的退位减法”是接下来要学习的内容。然而，既然学生产生了学习需要，教师就应及时调整教学思路，即时解决。笔者及时将教学的重心下移，组织学生小组讨论，不仅促使学生进一步理解了所学知识，而且为下一步学习埋下了伏笔。
3.“机械预设”到“动态生成”
在“万以内数的退位减法笔算”教学中，首先让学生自由发挥，结合自己的生活实际收集各种万以内的数，并适当选取一些数作为教学素材，分别是6 004、9 050、1 862、254、4 000、5 008、2 432、960、3 070、110，然后要求学生对上述数字进行分类，并说明为什么这么分类。学生1：我们把这10个数字总共分成了4类，不含0的、0在中间位置的、0在末尾位置的、中间末尾都有0的。教师：这种分类方法很不错（按照分类在黑板上板书出来）请你读一读。学生2：我们把这10个数字按照位数分成两类，一类是三位数，一类是四位数，这样读起来比较简单，不容易出错。教师：这种方法也非常好。学生3：我们把这10个数字总共分成了3类，一类末尾是0，一类末尾是2，其余为一类，这样读起来比较简单。教师：这种方法也非常不错。学生4：我们把这10个数字按照从小到大的顺序排列，这样读起来比较快。教师：这种方法非常棒，数字按照从小到大的顺序排列，读起来非常简单。
对于小学生来讲，这是一道发散性的题目，学生1、学生2的分类方法是教师意料之中的，而学生3和学生4的分类方法则出乎意料，这是动态的生成，学生能够按照0的位置对数字进行分类说明学生对万以内数的读法已经基本掌握。接下来，教师带领学生探讨这些数之间的关系，找到相同点和不同点，引导学生探索更多的分类方法，并思考分类的理由，体会其产生的效果。该题目中，学生动态生成的两种分类方法不仅有利于激发学生的学习积极性，同时也可以作为正确的分类参照，学生在教师的引导下经历了系统的思维优化过程。另外，教师在课堂教学中对动态生成的处理也可以有效提高其课堂应对能力。