数字谜第7期(全文)

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数字谜是指在一个数学算式里,有些数字或运算符号未确定,要求我们开动脑筋,进行合理地判断和推理,从而解开谜底,即找到待定的数字或运算符号,这种问题也被称为“虫蚀算”.它起源于中国古代,后来逐渐风靡全世界.

下面是一些具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题.

例 1 ABCD表示一个四位数,EFG表示一个三位数,A,B,C,D,E,F,G代表1至9中的不同的数字.已知ABCD+EFG=1993,问:ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?

解析:当两个数的和一定时,两个数相差越小,它们的乘积越大;两个数相差越大,它们的乘积越小.

A显然只能为1,则BCD+EFG=993,

当ABCD与EFG的积最大时,ABCD、EFG差值较小,则要求BCD尽可能小,EFG尽可能大,有BCD最小值为234,对应的EFG为759,所以有1234×759是满足条件的最大乘积;

当ABCD与EFG的积最小时,ABCD与EFG差值较大,则要求BCD尽可能大,EFG尽可能小,有EFG最小为234,对应BCD为759,所以有1759×234是满足条件的最小乘积;

它们的差为1234×759-1759×234=(1000+234)×759-(1000+759)×234=1000×(759-234)=525000.

例 5 图1中有大、中、小3个正方形,组成了8个三角形.现在先把1,2,3,4分别填在大正方形的4个顶点上,再把1,2,3,4分别填在中正方形的4个顶点上,最后把1,2,3,4分别填在小正方形的4个顶点上.

(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能,请给出填数方法;如果不能,请说明理由;

(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能,请给出填数方法;如果不能,请说明理由.

解析:(1)无论采取怎样的填法,都不可能使8个三角形顶点上数字之和相等.我们可以证明如下.

假设存在某种填法使得8个三角形顶点上数字之和都相等,不妨设每个三角形顶点上数字之和为正整数k.

在计算8个三角形顶点上数字之和时,大正方形四个顶点上每个数字恰好使用一次;中正方形四个顶点上每个数字各使用三次;小正方形四个顶点上每个数字各使用二次.

因此,这8个三角形顶点上的数字之和总和为

8k=(1+2+3+4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+4),即8k=60,显然k不为正整数,与假设矛盾,所以不能使8个三角形顶点上数字之和都相等.

(2)由(1)可知,不可能使三角形的三个顶点上数字完全相同,所以三角形顶点上数字之和最小值为1+1+2=4,最大值为3+4+4=11.

而4到11之间共有8个数,于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同,填法不惟一.如图2和图3是两种填法.

且只有1、4、2、8、5、7这6个数字,满足题意.

所以这个六位数为142857.

方法二:首先可以确定最小的六位数的首位为1,不然2*****的6倍就不是六位数,于是不妨设这个六位数为1abcde,那么6个六位数中必定存在一个数为abcde1.

而个位数字1,只能由1×1,3×7或9×9得到.但是abcde1只能对应于1abcde乘2～6中的一个算式,所以只能由1abcde×3得到.即abcde1=1abcde×3.

于是,我们不难推出e为7,d为5,c为8,b为2,a为4,所以这个六位数为142857.

方法三:部分同方法二,abcde1=1abcde×3.

那么有abcde×10+1=(100000+abcde)×3,解得abcde=42857.

所以这个六位数为142857.

数字谜第7期